联立方程是指两个或多个方程需要一起求解，因为同一组未知数的取值必须同时满足所有方程。在常见的代数情形中，你通常要解两个含两个变量的一次方程，找出一个有序数对 ，使这两个方程都成立。
两种主要方法是代入法和消元法。如果某个变量已经被单独表示出来，代入法通常更快。如果把两个方程相加或相减后某个变量会被消去，消元法通常更快。
联立方程的解是什么意思
每个方程都对同一组未知数提出一个条件。只有同时满足所有条件的结果才是解，而不是只满足其中一个方程。
对于一次方程组，你也可以把解看成两条直线的交点。如果两条直线相交一次，就有一个解。如果它们平行，就没有解。如果它们是同一条直线，就有无穷多个解。
什么时候用代入法，什么时候用消元法
当某个变量已经单独在等号一边，或者稍微整理一下就能单独表示出来时，用代入法更合适。例如， 就很容易代入另一个方程。
当通过把方程相加或相减可以消去一个变量时，用消元法更合适。尤其是当系数已经相等或互为相反数时，这种方法会特别高效。
这两种方法并没有哪一种更“正确”。实际要考虑的是，哪一种能更快得到一个简洁的方程。
例题：解一组联立方程
求解
和
方法 1：消元法
这个方程组很适合用消元法，因为 项互为相反数。
把两个方程相加：
所以
得到
现在把 代入 ：
所以
解为
方法 2：代入法
从第一个方程开始：
整理成一个变量为主语的形式：
把它代入第二个方程：
现在化简：
然后利用 ：
所以解仍然是
两种方法都会得到同一个有序数对，因为它们解的是同一个方程组。选择哪一种方法，关键在于效率，而不是正确性。
在两个方程中检验答案
把这个数对代入原来的两个方程进行检验：
以及
两个方程都成立，所以这个解是正确的。
联立方程中的常见错误
只求出一个变量
如果题目要求的是整个方程组的解，只求出 还不够。通常你需要写出完整的数对。
漏掉负号
无论是在整理方程还是代入时，符号错误都很常见。在上面的例子中， 必须化成 ，而不是 。
机械地选择方法
如果某个变量已经被单独表示出来，代入法可能更快。如果系数本来就能直接消去，消元法可能更简洁。选择更容易的路线可以减少出错。
跳过检验
错误答案看起来也可能很整齐。把结果代回两个方程检验，是发现失误最快的方法之一。
联立方程的应用场景
在学校数学中，联立方程常见于代数、图像题，以及涉及总数、差值、价格或混合问题的应用题。更广泛地说，只要两个关系必须同时对同一组未知量成立，就会用到联立方程。
一次方程组通常是最先学习的情况，但同样的思想也可以推广到更大的方程组以及非线性方程。
试试类似的问题
求解
和
先用消元法求解。然后再用代入法解同一个方程组，并检查两种方法是否得到同一个有序数对。如果你还想继续练习，可以试着改变常数项，看看哪一种方法会变得更快。