Lineare Gleichungssysteme — Einsetzungs- & Additionsverfahren

Lineare Gleichungssysteme bestehen aus zwei oder mehr Gleichungen, die gemeinsam gelöst werden, weil dieselben Werte alle gleichzeitig erfüllen müssen. Im üblichen Fall der Algebra löst man zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen, um ein geordnetes Paar $(x, y)$ zu finden, das beide Gleichungen wahr macht.

Die beiden wichtigsten Methoden sind das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren. Das Einsetzungsverfahren ist meist schneller, wenn eine Variable bereits isoliert ist. Das Additionsverfahren ist meist schneller, wenn sich eine Variable durch Addieren oder Subtrahieren der Gleichungen wegkürzt.

Was eine Lösung eines linearen Gleichungssystems bedeutet

Jede Gleichung stellt eine Bedingung an dieselben Unbekannten. Eine Lösung funktioniert nur dann, wenn sie jede Bedingung erfüllt, nicht nur eine davon.

Bei linearen Gleichungen kann man sich die Lösung auch als den Punkt vorstellen, an dem sich zwei Geraden schneiden. Wenn sich die Geraden einmal schneiden, gibt es genau eine Lösung. Wenn sie parallel sind, gibt es keine Lösung. Wenn es dieselbe Gerade ist, gibt es unendlich viele Lösungen.

Wann man Einsetzungs- oder Additionsverfahren verwendet

Verwende das Einsetzungsverfahren, wenn eine Variable bereits allein steht oder sich ohne viel Umformen isolieren lässt. Zum Beispiel lässt sich $y = 10 - x$ leicht in eine andere Gleichung einsetzen.

Verwende das Additionsverfahren, wenn sich eine Variable durch Addieren oder Subtrahieren der Gleichungen eliminieren lässt. Das ist besonders effizient, wenn die Koeffizienten bereits gleich oder entgegengesetzt sind.

Keine der beiden Methoden ist richtiger als die andere. Die praktische Frage ist, mit welcher du schneller zu einer einfachen Gleichung kommst.

Durchgerechnetes Beispiel: Löse ein lineares Gleichungssystem

Löse

$$x + y = 10$$

und

$$2x - y = 2$$

Methode 1: Additionsverfahren

Dieses Gleichungssystem eignet sich gut für das Additionsverfahren, weil die $y$-Terme entgegengesetzt sind.

Addiere die Gleichungen:

$$(x + y) + (2x - y) = 10 + 2$$

Also

$$3x = 12$$

daraus folgt

$$x = 4$$

Setze nun $x = 4$ in $x + y = 10$ ein:

$$4 + y = 10$$

also

$$y = 6$$

Die Lösung ist

$$(x, y) = (4, 6)$$

Methode 2: Einsetzungsverfahren

Beginne mit der ersten Gleichung:

$$x + y = 10$$

Forme sie so um, dass eine Variable allein steht:

$$y = 10 - x$$

Setze das in die zweite Gleichung ein:

$$2x - (10 - x) = 2$$

Vereinfache nun:

$$2x - 10 + x = 2$$ $$3x - 10 = 2$$ $$3x = 12$$ $$x = 4$$

Verwende dann $y = 10 - x$:

$$y = 10 - 4 = 6$$

Die Lösung ist also wieder

$$(x, y) = (4, 6)$$

Beide Methoden führen zum selben geordneten Paar, weil sie dasselbe Gleichungssystem lösen. Die Wahl betrifft die Effizienz, nicht die Korrektheit.

Prüfe die Antwort in beiden Gleichungen

Prüfe das Wertepaar in beiden ursprünglichen Gleichungen:

$$4 + 6 = 10$$

und

$$2(4) - 6 = 8 - 6 = 2$$

Beide Gleichungen sind wahr, also ist die Lösung richtig.

Häufige Fehler bei linearen Gleichungssystemen

Nur eine Variable berechnen

$x$ zu finden reicht nicht aus, wenn nach der Lösung des Gleichungssystems gefragt ist. Meist brauchst du das vollständige Wertepaar.

Ein Minuszeichen verlieren

Vorzeichenfehler sind sowohl beim Umformen als auch beim Einsetzen häufig. Im obigen Beispiel muss der Schritt $2x - (10 - x)$ zu $2x - 10 + x$ werden, nicht zu $2x - 10 - x$.

Eine Methode mechanisch wählen

Wenn eine Variable bereits isoliert ist, kann das Einsetzungsverfahren schneller sein. Wenn sich Koeffizienten schon aufheben, kann das Additionsverfahren übersichtlicher sein. Der einfachere Weg verringert Fehler.

Die Probe überspringen

Eine falsche Antwort kann trotzdem ordentlich aussehen. Beide Gleichungen zu prüfen, ist eine der schnellsten Möglichkeiten, einen Fehler zu entdecken.

Wo lineare Gleichungssysteme verwendet werden

Im Schulunterricht tauchen lineare Gleichungssysteme in Algebra, beim Zeichnen von Graphen und in Sachaufgaben zu Summen, Differenzen, Preisen oder Mischungen auf. Allgemeiner werden sie immer dann verwendet, wenn zwei Beziehungen für dieselben unbekannten Größen gleichzeitig gelten müssen.

Der lineare Fall ist der übliche Einstieg, aber dieselbe Idee lässt sich auch auf größere Systeme und auf nichtlineare Gleichungen übertragen.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Löse

$$x + y = 13$$

und

$$3x - y = 7$$

Löse es zuerst mit dem Additionsverfahren. Löse dann dasselbe Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren und prüfe, dass beide Methoden dasselbe geordnete Paar ergeben. Wenn du danach noch einen weiteren Fall möchtest, ändere die Konstanten und schau, welche Methode schneller wird.