Systèmes d’équations — substitution et élimination

Les équations simultanées sont deux équations ou plus que l’on résout ensemble, car les mêmes valeurs doivent toutes les vérifier en même temps. Dans le cas habituel en algèbre, on résout deux équations linéaires à deux inconnues pour trouver un couple ordonné $(x, y)$ qui rend les deux équations vraies.

Les deux méthodes principales sont la substitution et l’élimination. La substitution est généralement plus rapide lorsqu’une variable est déjà isolée. L’élimination est généralement plus rapide lorsqu’une variable s’annule après l’addition ou la soustraction des équations.

Ce que signifie une solution d’un système d’équations

Chaque équation impose une condition sur les mêmes inconnues. Une solution ne convient que si elle vérifie toutes les conditions, et pas seulement l’une d’elles.

Pour des équations linéaires, on peut aussi voir la solution comme le point d’intersection de deux droites. Si les droites se coupent une seule fois, il y a une solution. Si elles sont parallèles, il n’y a pas de solution. Si c’est la même droite, il y a une infinité de solutions.

Quand utiliser la substitution ou l’élimination

Utilisez la substitution lorsqu’une variable est déjà seule, ou peut être isolée sans trop de réarrangements. Par exemple, $y = 10 - x$ est facile à remplacer dans une autre équation.

Utilisez l’élimination lorsqu’une variable peut être supprimée en additionnant ou en soustrayant les équations. C’est particulièrement efficace lorsque les coefficients sont déjà égaux ou opposés.

Aucune des deux méthodes n’est plus correcte que l’autre. En pratique, la vraie question est de savoir laquelle permet d’obtenir plus vite une équation simple.

Exemple résolu : résoudre un système de deux équations

Résoudre

$$x + y = 10$$

et

$$2x - y = 2$$

Méthode 1 : élimination

Ce système se prête bien à l’élimination, car les termes en $y$ sont opposés.

Additionnons les équations :

$$(x + y) + (2x - y) = 10 + 2$$

Donc

$$3x = 12$$

ce qui donne

$$x = 4$$

Remplaçons maintenant $x = 4$ dans $x + y = 10$ :

$$4 + y = 10$$

donc

$$y = 6$$

La solution est

$$(x, y) = (4, 6)$$

Méthode 2 : substitution

Partons de la première équation :

$$x + y = 10$$

Réarrangeons-la pour isoler une variable :

$$y = 10 - x$$

Remplaçons cela dans la deuxième équation :

$$2x - (10 - x) = 2$$

Simplifions maintenant :

$$2x - 10 + x = 2$$ $$3x - 10 = 2$$ $$3x = 12$$ $$x = 4$$

Puis utilisons $y = 10 - x$ :

$$y = 10 - 4 = 6$$

Donc la solution est encore

$$(x, y) = (4, 6)$$

Les deux méthodes conduisent au même couple ordonné, car elles résolvent le même système. Le choix dépend de l’efficacité, pas de la justesse.

Vérifier la réponse dans les deux équations

Vérifions le couple dans les deux équations d’origine :

$$4 + 6 = 10$$

et

$$2(4) - 6 = 8 - 6 = 2$$

Les deux équations sont vraies, donc la solution est correcte.

Erreurs fréquentes avec les systèmes d’équations

Résoudre seulement une variable

Trouver $x$ ne suffit pas si la question demande la solution du système. Il faut généralement donner le couple complet.

Perdre un signe négatif

Les erreurs de signe sont fréquentes, aussi bien lors du réarrangement que lors de la substitution. Dans l’exemple ci-dessus, l’étape $2x - (10 - x)$ doit devenir $2x - 10 + x$, et non $2x - 10 - x$.

Choisir une méthode de façon mécanique

Si une variable est déjà isolée, la substitution peut être plus rapide. Si les coefficients s’annulent déjà, l’élimination peut être plus simple. Choisir la voie la plus facile réduit les erreurs.

Oublier la vérification

Une mauvaise réponse peut quand même sembler propre. Vérifier les deux équations est l’un des moyens les plus rapides de repérer une erreur.

Où les systèmes d’équations sont utilisés

En mathématiques scolaires, les systèmes d’équations apparaissent en algèbre, dans les représentations graphiques et dans les problèmes faisant intervenir des totaux, des différences, des prix ou des mélanges. Plus largement, ils sont utilisés chaque fois que deux relations doivent être vraies pour les mêmes quantités inconnues.

Le cas linéaire est le point de départ habituel, mais la même idée s’étend aussi à des systèmes plus grands et à des équations non linéaires.

Essayez un problème similaire

Résoudre

$$x + y = 13$$

et

$$3x - y = 7$$

Commencez par le résoudre par élimination. Puis résolvez le même système par substitution et vérifiez que les deux méthodes donnent le même couple ordonné. Si vous voulez un autre cas ensuite, essayez de changer les constantes et voyez quelle méthode devient la plus rapide.