연립방정식은 두 개 이상의 방정식을 함께 푸는 것으로, 같은 값들이 모든 식을 동시에 만족해야 합니다. 보통 대수에서는 미지수 두 개가 있는 일차방정식 두 개를 풀어, 두 식을 모두 참으로 만드는 하나의 순서쌍 를 찾습니다.
대표적인 풀이 방법은 대입법과 소거법입니다. 대입법은 한 변수가 이미 정리되어 있을 때 보통 더 빠릅니다. 소거법은 두 식을 더하거나 빼서 어떤 변수가 없어질 때 보통 더 효율적입니다.
연립방정식의 해가 뜻하는 것
각 방정식은 같은 미지수들에 대한 하나의 조건을 나타냅니다. 해는 그중 하나만이 아니라 모든 조건을 만족할 때만 성립합니다.
일차방정식의 경우, 해를 두 직선이 만나는 점으로 생각할 수도 있습니다. 두 직선이 한 번 만나면 해는 하나입니다. 서로 평행하면 해가 없습니다. 같은 직선이면 해가 무수히 많습니다.
대입법과 소거법은 언제 쓸까
한 변수가 이미 혼자 있거나, 조금만 정리하면 쉽게 고립시킬 수 있을 때는 대입법을 사용합니다. 예를 들어 는 다른 식에 바로 넣기 쉽습니다.
두 식을 더하거나 빼서 한 변수를 없앨 수 있을 때는 소거법을 사용합니다. 특히 계수가 이미 같거나 서로 반대수일 때 매우 효율적입니다.
어느 방법이 더 “맞는” 방법인 것은 아닙니다. 실제로 중요한 것은 어떤 방법이 더 빨리 깔끔한 식으로 이어지느냐입니다.
풀이 예제: 연립방정식 한 쌍 풀기
다음을 풀어 봅시다.
그리고
방법 1: 소거법
이 연립방정식은 항이 서로 반대이므로 소거법에 잘 맞습니다.
두 식을 더하면
따라서
이고, 여기서
를 얻습니다.
이제 를 에 대입하면
이므로
입니다.
따라서 해는
입니다.
방법 2: 대입법
첫 번째 식에서 시작합니다.
한 변수를 주어로 만들도록 정리하면
이 식을 두 번째 식에 대입합니다.
이제 정리하면
그다음 를 이용하면
입니다.
따라서 다시 해는
입니다.
두 방법은 같은 연립방정식을 푸는 것이므로 같은 순서쌍으로 이어집니다. 선택의 기준은 정답 여부가 아니라 효율성입니다.
두 식에 모두 대입해 답 확인하기
원래 두 식에 순서쌍을 대입해 확인해 봅시다.
그리고
두 식이 모두 참이므로 해는 맞습니다.
연립방정식에서 자주 하는 실수
한 변수만 구하고 끝내기
문제가 연립방정식의 해를 묻는다면 만 찾는 것으로는 충분하지 않습니다. 보통은 전체 순서쌍이 필요합니다.
음수 부호를 놓치기
부호 실수는 식을 정리할 때도, 대입할 때도 자주 발생합니다. 위 예제에서 는 반드시 가 되어야 하며, 가 아닙니다.
기계적으로 방법 고르기
한 변수가 이미 정리되어 있으면 대입법이 더 빠를 수 있습니다. 계수가 바로 소거되면 소거법이 더 깔끔할 수 있습니다. 더 쉬운 길을 고르면 실수도 줄어듭니다.
확인 과정을 건너뛰기
틀린 답도 겉보기에는 그럴듯할 수 있습니다. 원래 두 식에 모두 대입해 보는 것은 실수를 가장 빨리 잡아내는 방법 중 하나입니다.
연립방정식은 어디에 쓰일까
학교 수학에서는 연립방정식이 대수, 그래프, 그리고 합계·차이·가격·혼합과 관련된 문장제에서 자주 나옵니다. 더 넓게 보면, 같은 미지수들이 두 관계를 동시에 만족해야 하는 모든 상황에서 쓰입니다.
일차인 경우가 보통 출발점이지만, 같은 생각은 더 큰 연립방정식이나 비선형방정식에도 확장됩니다.
비슷한 문제를 풀어 보세요
다음을 풀어 보세요.
그리고
먼저 소거법으로 풀어 보세요. 그다음 같은 연립방정식을 대입법으로도 풀고, 두 방법이 같은 순서쌍을 주는지 확인해 보세요. 그 뒤에 하나 더 해 보고 싶다면 상수항을 바꿔 보면서 어떤 방법이 더 빨라지는지도 살펴보세요.