Sistemi di equazioni — sostituzione ed eliminazione

I sistemi di equazioni sono due o più equazioni che si risolvono insieme, perché gli stessi valori devono soddisfarle tutte contemporaneamente. Nel caso algebrico più comune, si risolvono due equazioni lineari in due variabili per trovare una coppia ordinata $(x, y)$ che renda vere entrambe le equazioni.

I due metodi principali sono la sostituzione e l'eliminazione. La sostituzione di solito è più rapida quando una variabile è già isolata. L'eliminazione di solito è più rapida quando una variabile si annulla sommando o sottraendo le equazioni.

Cosa significa la soluzione di un sistema di equazioni

Ogni equazione impone una condizione sulle stesse incognite. Una soluzione è valida solo se soddisfa ogni condizione, non soltanto una.

Per le equazioni lineari, puoi anche pensare alla soluzione come al punto in cui due rette si incontrano. Se le rette si intersecano una sola volta, c'è un'unica soluzione. Se sono parallele, non c'è soluzione. Se coincidono, ci sono infinite soluzioni.

Quando usare la sostituzione o l'eliminazione

Usa la sostituzione quando una variabile è già da sola, oppure può essere isolata senza troppi passaggi. Per esempio, $y = 10 - x$ si può inserire facilmente in un'altra equazione.

Usa l'eliminazione quando una variabile può essere cancellata sommando o sottraendo le equazioni. Questo metodo è particolarmente efficiente quando i coefficienti sono già uguali oppure opposti.

Nessuno dei due metodi è più corretto dell'altro. La vera domanda pratica è quale ti porta più velocemente a un'equazione semplice.

Esempio svolto: risolvere una coppia di equazioni simultanee

Risolvi

$$x + y = 10$$

e

$$2x - y = 2$$

Metodo 1: eliminazione

Questo sistema si presta bene all'eliminazione perché i termini in $y$ sono opposti.

Somma le equazioni:

$$(x + y) + (2x - y) = 10 + 2$$

Quindi

$$3x = 12$$

da cui si ottiene

$$x = 4$$

Ora sostituisci $x = 4$ in $x + y = 10$:

$$4 + y = 10$$

quindi

$$y = 6$$

La soluzione è

$$(x, y) = (4, 6)$$

Metodo 2: sostituzione

Parti dalla prima equazione:

$$x + y = 10$$

Riscrivila isolando una variabile:

$$y = 10 - x$$

Sostituiscila nella seconda equazione:

$$2x - (10 - x) = 2$$

Ora semplifica:

$$2x - 10 + x = 2$$ $$3x - 10 = 2$$ $$3x = 12$$ $$x = 4$$

Poi usa $y = 10 - x$:

$$y = 10 - 4 = 6$$

Quindi la soluzione è ancora

$$(x, y) = (4, 6)$$

Entrambi i metodi portano alla stessa coppia ordinata perché stanno risolvendo lo stesso sistema. La scelta riguarda l'efficienza, non la correttezza.

Verifica la risposta in entrambe le equazioni

Controlla la coppia in entrambe le equazioni originali:

$$4 + 6 = 10$$

e

$$2(4) - 6 = 8 - 6 = 2$$

Entrambe le equazioni sono vere, quindi la soluzione è corretta.

Errori comuni nei sistemi di equazioni

Trovare solo una variabile

Trovare $x$ non basta se la domanda chiede la soluzione del sistema. Di solito serve la coppia completa.

Perdere un segno meno

Gli errori di segno sono comuni sia nei passaggi di riordino sia nella sostituzione. Nell'esempio sopra, il passaggio $2x - (10 - x)$ deve diventare $2x - 10 + x$, non $2x - 10 - x$.

Scegliere un metodo in modo meccanico

Se una variabile è già isolata, la sostituzione può essere più veloce. Se i coefficienti si annullano già, l'eliminazione può essere più pulita. Scegliere la strada più semplice riduce gli errori.

Saltare la verifica

Una risposta sbagliata può comunque sembrare ordinata. Controllare entrambe le equazioni è uno dei modi più rapidi per accorgersi di un errore.

Dove si usano i sistemi di equazioni

Nella matematica scolastica, i sistemi di equazioni compaiono in algebra, nella rappresentazione grafica e nei problemi con totali, differenze, prezzi o miscele. Più in generale, si usano ogni volta che due relazioni devono valere per le stesse quantità incognite.

Il caso lineare è di solito il punto di partenza, ma la stessa idea si estende anche a sistemi più grandi e a equazioni non lineari.

Prova un problema simile

Risolvi

$$x + y = 13$$

e

$$3x - y = 7$$

Per prima cosa risolvilo con l'eliminazione. Poi risolvi lo stesso sistema con la sostituzione e verifica che entrambi i metodi diano la stessa coppia ordinata. Se vuoi un altro caso dopo questo, prova a cambiare i termini noti e osserva quale metodo diventa più rapido.