Συστήματα εξισώσεων — αντικατάσταση και απαλοιφή

Τα συστήματα εξισώσεων είναι δύο ή περισσότερες εξισώσεις που λύνονται μαζί, επειδή οι ίδιες τιμές πρέπει να ικανοποιούν όλες τις εξισώσεις ταυτόχρονα. Στη συνηθισμένη περίπτωση της άλγεβρας, λύνεις δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο μεταβλητές για να βρεις ένα διατεταγμένο ζεύγος $(x, y)$ που κάνει και τις δύο εξισώσεις αληθείς.

Οι δύο βασικές μέθοδοι είναι η αντικατάσταση και η απαλοιφή. Η αντικατάσταση είναι συνήθως πιο γρήγορη όταν μία μεταβλητή είναι ήδη απομονωμένη. Η απαλοιφή είναι συνήθως πιο γρήγορη όταν μια μεταβλητή θα εξαλειφθεί μετά από πρόσθεση ή αφαίρεση των εξισώσεων.

Τι σημαίνει η λύση ενός συστήματος εξισώσεων

Κάθε εξίσωση δίνει μία συνθήκη για τους ίδιους αγνώστους. Μια λύση είναι σωστή μόνο αν ικανοποιεί κάθε συνθήκη, όχι μόνο μία από αυτές.

Στις γραμμικές εξισώσεις, μπορείς επίσης να σκεφτείς τη λύση ως το σημείο όπου τέμνονται δύο ευθείες. Αν οι ευθείες τέμνονται μία φορά, υπάρχει μία λύση. Αν είναι παράλληλες, δεν υπάρχει λύση. Αν είναι η ίδια ευθεία, υπάρχουν άπειρες λύσεις.

Πότε να χρησιμοποιείς αντικατάσταση ή απαλοιφή

Χρησιμοποίησε αντικατάσταση όταν μια μεταβλητή είναι ήδη μόνη της ή μπορεί να απομονωθεί χωρίς πολλές μετατροπές. Για παράδειγμα, το $y = 10 - x$ μπορεί εύκολα να μπει σε μια άλλη εξίσωση.

Χρησιμοποίησε απαλοιφή όταν μια μεταβλητή μπορεί να εξαλειφθεί με πρόσθεση ή αφαίρεση των εξισώσεων. Αυτό είναι ιδιαίτερα αποδοτικό όταν οι συντελεστές είναι ήδη ίσοι ή αντίθετοι.

Καμία μέθοδος δεν είναι πιο σωστή από την άλλη. Το πρακτικό ερώτημα είναι ποια σε οδηγεί πιο γρήγορα σε μια απλή εξίσωση.

Λυμένο παράδειγμα: λύσε ένα σύστημα δύο εξισώσεων

Λύσε

$$x + y = 10$$

και

$$2x - y = 2$$

Μέθοδος 1: Απαλοιφή

Αυτό το σύστημα είναι κατάλληλο για απαλοιφή, επειδή οι όροι του $y$ είναι αντίθετοι.

Πρόσθεσε τις εξισώσεις:

$$(x + y) + (2x - y) = 10 + 2$$

Άρα

$$3x = 12$$

οπότε

$$x = 4$$

Τώρα αντικατάστησε το $x = 4$ στο $x + y = 10$:

$$4 + y = 10$$

άρα

$$y = 6$$

Η λύση είναι

$$(x, y) = (4, 6)$$

Μέθοδος 2: Αντικατάσταση

Ξεκίνα από την πρώτη εξίσωση:

$$x + y = 10$$

Μετασχημάτισέ την ώστε να έχεις μία μεταβλητή ως άγνωστο:

$$y = 10 - x$$

Αντικατάστησε αυτό στη δεύτερη εξίσωση:

$$2x - (10 - x) = 2$$

Τώρα απλοποίησε:

$$2x - 10 + x = 2$$ $$3x - 10 = 2$$ $$3x = 12$$ $$x = 4$$

Έπειτα χρησιμοποίησε το $y = 10 - x$:

$$y = 10 - 4 = 6$$

Άρα η λύση είναι πάλι

$$(x, y) = (4, 6)$$

Και οι δύο μέθοδοι οδηγούν στο ίδιο διατεταγμένο ζεύγος, επειδή λύνουν το ίδιο σύστημα. Η επιλογή αφορά την αποδοτικότητα, όχι την ορθότητα.

Έλεγχος της απάντησης και στις δύο εξισώσεις

Έλεγξε το ζεύγος και στις δύο αρχικές εξισώσεις:

$$4 + 6 = 10$$

και

$$2(4) - 6 = 8 - 6 = 2$$

Και οι δύο εξισώσεις είναι αληθείς, άρα η λύση είναι σωστή.

Συνηθισμένα λάθη στα συστήματα εξισώσεων

Επίλυση μόνο για μία μεταβλητή

Το να βρεις το $x$ δεν αρκεί αν η άσκηση ζητά τη λύση του συστήματος. Συνήθως χρειάζεσαι ολόκληρο το ζεύγος.

Απώλεια αρνητικού προσήμου

Τα λάθη στα πρόσημα είναι συχνά τόσο στους μετασχηματισμούς όσο και στην αντικατάσταση. Στο παραπάνω παράδειγμα, το βήμα $2x - (10 - x)$ πρέπει να γίνει $2x - 10 + x$, όχι $2x - 10 - x$.

Μηχανική επιλογή μεθόδου

Αν μια μεταβλητή είναι ήδη απομονωμένη, η αντικατάσταση μπορεί να είναι πιο γρήγορη. Αν οι συντελεστές ήδη απαλείφονται, η απαλοιφή μπορεί να είναι πιο καθαρή. Η επιλογή της πιο εύκολης διαδρομής μειώνει τα λάθη.

Παράλειψη του ελέγχου

Μια λανθασμένη απάντηση μπορεί παρ’ όλα αυτά να φαίνεται τακτοποιημένη. Ο έλεγχος και στις δύο εξισώσεις είναι ένας από τους πιο γρήγορους τρόπους να εντοπίσεις ένα λάθος.

Πού χρησιμοποιούνται τα συστήματα εξισώσεων

Στα σχολικά μαθηματικά, τα συστήματα εξισώσεων εμφανίζονται στην άλγεβρα, στις γραφικές παραστάσεις και στα προβλήματα λόγου με αθροίσματα, διαφορές, τιμές ή μείγματα. Πιο γενικά, χρησιμοποιούνται κάθε φορά που δύο σχέσεις πρέπει να ισχύουν για τις ίδιες άγνωστες ποσότητες.

Η γραμμική περίπτωση είναι συνήθως η αφετηρία, αλλά η ίδια ιδέα επεκτείνεται και σε μεγαλύτερα συστήματα και σε μη γραμμικές εξισώσεις.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Λύσε

$$x + y = 13$$

και

$$3x - y = 7$$

Πρώτα λύσε το με απαλοιφή. Έπειτα λύσε το ίδιο σύστημα με αντικατάσταση και έλεγξε ότι και οι δύο μέθοδοι δίνουν το ίδιο διατεταγμένο ζεύγος. Αν θέλεις άλλη μία περίπτωση μετά από αυτό, δοκίμασε να αλλάξεις τις σταθερές και δες ποια μέθοδος γίνεται πιο γρήγορη.