Denklem Sistemleri — Yerine Koyma ve Yok Etme

Denklem sistemleri, aynı değerlerin hepsini aynı anda sağlaması gerektiği için birlikte çözülen iki veya daha fazla denklemdir. Cebirde en yaygın durumda, iki değişkenli iki doğrusal denklemi çözerek her iki denklemi de doğru yapan bir sıralı ikili $(x, y)$ bulunur.

İki temel yöntem yerine koyma ve yok etmedir. Yerine koyma, bir değişken zaten yalnız bırakılmışsa genellikle daha hızlıdır. Yok etme ise denklemler toplanınca veya çıkarılınca bir değişken sadeleşiyorsa genellikle daha hızlıdır.

Denklem sistemlerinde çözüm ne anlama gelir?

Her denklem, aynı bilinmeyenler için bir koşul verir. Bir çözümün geçerli olması için yalnızca birini değil, bütün koşulları sağlaması gerekir.

Doğrusal denklemlerde çözümü, iki doğrunun kesiştiği nokta olarak da düşünebilirsiniz. Doğrular bir kez kesişiyorsa tek çözüm vardır. Paralellerse çözüm yoktur. Aynı doğruyu gösteriyorlarsa sonsuz sayıda çözüm vardır.

Ne zaman yerine koyma, ne zaman yok etme kullanılır?

Bir değişken zaten tek başınaysa veya fazla düzenleme yapmadan yalnız bırakılabiliyorsa yerine koymayı kullanın. Örneğin, $y = 10 - x$ ifadesini başka bir denklemde kullanmak kolaydır.

Bir değişken, denklemleri toplayarak veya çıkararak yok edilebiliyorsa yok etme yöntemini kullanın. Katsayılar zaten eşitse ya da birbirinin zıttıysa bu yöntem özellikle verimlidir.

İki yöntemden biri diğerinden daha doğru değildir. Asıl pratik soru, hangisinin sizi daha hızlı ve daha düzenli bir denkleme götürdüğüdür.

Çözümlü örnek: bir denklem sistemini çözme

Çözün:

$$x + y = 10$$

ve

$$2x - y = 2$$

Yöntem 1: Yok etme

Bu sistem, $y$ terimleri birbirinin zıttı olduğu için yok etme yöntemi için uygundur.

Denklemleri toplayın:

$$(x + y) + (2x - y) = 10 + 2$$

Böylece

$$3x = 12$$

olur, buradan da

$$x = 4$$

elde edilir.

Şimdi $x = 4$ değerini $x + y = 10$ denkleminde yerine koyun:

$$4 + y = 10$$

buradan

$$y = 6$$

bulunur.

Çözüm

$$(x, y) = (4, 6)$$

şeklindedir.

Yöntem 2: Yerine koyma

İlk denklemden başlayın:

$$x + y = 10$$

Bir değişkeni yalnız bırakacak şekilde düzenleyin:

$$y = 10 - x$$

Bunu ikinci denklemde yerine koyun:

$$2x - (10 - x) = 2$$

Şimdi sadeleştirin:

$$2x - 10 + x = 2$$ $$3x - 10 = 2$$ $$3x = 12$$ $$x = 4$$

Sonra $y = 10 - x$ ifadesini kullanın:

$$y = 10 - 4 = 6$$

Böylece çözüm yine

$$(x, y) = (4, 6)$$

olur.

Her iki yöntem de aynı sistemi çözdüğü için aynı sıralı ikiliye ulaşır. Seçim doğrulukla değil, verimlilikle ilgilidir.

Cevabı iki denklemde de kontrol edin

Bulduğunuz ikiliyi her iki başlangıç denkleminde de kontrol edin:

$$4 + 6 = 10$$

ve

$$2(4) - 6 = 8 - 6 = 2$$

Her iki denklem de doğru olduğuna göre çözüm doğrudur.

Denklem sistemlerinde sık yapılan hatalar

Yalnızca bir değişkeni bulmak

Soru sistemin çözümünü istiyorsa yalnızca $x$ değerini bulmak yeterli değildir. Genellikle tam sıralı ikili gerekir.

Eksi işaretini kaybetmek

İşaret hataları hem düzenleme yaparken hem de yerine koyarken sık görülür. Yukarıdaki örnekte, $2x - (10 - x)$ adımı $2x - 10 + x$ olmalıdır; $2x - 10 - x$ değil.

Yöntemi düşünmeden seçmek

Bir değişken zaten yalnız bırakılmışsa yerine koyma daha hızlı olabilir. Katsayılar zaten birbirini götürüyorsa yok etme daha düzenli olabilir. Daha kolay yolu seçmek hata riskini azaltır.

Kontrol adımını atlamak

Yanlış bir cevap da düzenli görünebilir. Her iki denklemi de kontrol etmek, bir hatayı yakalamanın en hızlı yollarından biridir.

Denklem sistemleri nerelerde kullanılır?

Okul matematiğinde denklem sistemleri; cebirde, grafik çiziminde ve toplamlar, farklar, fiyatlar veya karışımlarla ilgili problem sorularında karşınıza çıkar. Daha genel olarak ise aynı bilinmeyen nicelikler için iki ilişkinin birden geçerli olması gereken her durumda kullanılır.

Doğrusal durum genellikle başlangıç noktasıdır, ancak aynı fikir daha büyük sistemlere ve doğrusal olmayan denklemlere de genişler.

Benzer bir soru deneyin

Çözün:

$$x + y = 13$$

ve

$$3x - y = 7$$

Önce yok etme yöntemiyle çözün. Sonra aynı sistemi yerine koyma yöntemiyle çözün ve iki yöntemin de aynı sıralı ikiliyi verdiğini kontrol edin. Bundan sonra bir örnek daha isterseniz sabit sayıları değiştirin ve hangi yöntemin daha hızlı olduğunu görün.