Układy równań — podstawianie i eliminacja

Układy równań to dwa lub więcej równań rozwiązywanych jednocześnie, ponieważ te same wartości muszą spełniać je wszystkie naraz. W typowym przypadku algebraicznym rozwiązujesz dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi, aby znaleźć jedną parę uporządkowaną $(x, y)$, która sprawia, że oba równania są prawdziwe.

Dwie główne metody to podstawianie i eliminacja. Podstawianie jest zwykle szybsze, gdy jedna zmienna jest już wyznaczona. Eliminacja jest zwykle szybsza, gdy jakaś zmienna skróci się po dodaniu lub odjęciu równań.

Co oznacza rozwiązanie układu równań

Każde równanie daje jeden warunek dotyczący tych samych niewiadomych. Rozwiązanie działa tylko wtedy, gdy spełnia każdy warunek, a nie tylko jeden z nich.

W przypadku równań liniowych możesz też myśleć o rozwiązaniu jako o punkcie przecięcia dwóch prostych. Jeśli proste przecinają się raz, istnieje jedno rozwiązanie. Jeśli są równoległe, nie ma rozwiązania. Jeśli to ta sama prosta, istnieje nieskończenie wiele rozwiązań.

Kiedy użyć podstawiania, a kiedy eliminacji

Użyj podstawiania, gdy jedna zmienna jest już sama albo można ją wyznaczyć bez większych przekształceń. Na przykład $y = 10 - x$ łatwo wstawić do innego równania.

Użyj eliminacji, gdy jedną zmienną można usunąć przez dodanie lub odjęcie równań. Jest to szczególnie wygodne, gdy współczynniki są już równe albo przeciwne.

Żadna z metod nie jest bardziej poprawna od drugiej. W praktyce chodzi o to, która szybciej prowadzi do prostego równania.

Przykład rozwiązany: rozwiąż parę równań jednoczesnych

Rozwiąż

$$x + y = 10$$

oraz

$$2x - y = 2$$

Metoda 1: Eliminacja

Ten układ dobrze nadaje się do eliminacji, ponieważ wyrazy z $y$ są przeciwne.

Dodaj równania:

$$(x + y) + (2x - y) = 10 + 2$$

Zatem

$$3x = 12$$

co daje

$$x = 4$$

Teraz podstaw $x = 4$ do $x + y = 10$:

$$4 + y = 10$$

więc

$$y = 6$$

Rozwiązaniem jest

$$(x, y) = (4, 6)$$

Metoda 2: Podstawianie

Zacznij od pierwszego równania:

$$x + y = 10$$

Przekształć je tak, aby wyznaczyć jedną zmienną:

$$y = 10 - x$$

Podstaw to do drugiego równania:

$$2x - (10 - x) = 2$$

Teraz uprość:

$$2x - 10 + x = 2$$ $$3x - 10 = 2$$ $$3x = 12$$ $$x = 4$$

Następnie użyj $y = 10 - x$:

$$y = 10 - 4 = 6$$

Zatem rozwiązaniem jest ponownie

$$(x, y) = (4, 6)$$

Obie metody prowadzą do tej samej pary uporządkowanej, ponieważ rozwiązują ten sam układ. Wybór dotyczy wygody, a nie poprawności.

Sprawdź odpowiedź w obu równaniach

Sprawdź tę parę w obu równaniach wyjściowych:

$$4 + 6 = 10$$

oraz

$$2(4) - 6 = 8 - 6 = 2$$

Oba równania są prawdziwe, więc rozwiązanie jest poprawne.

Częste błędy przy układach równań

Rozwiązanie tylko dla jednej zmiennej

Znalezienie $x$ nie wystarcza, jeśli pytanie dotyczy rozwiązania całego układu. Zwykle potrzebujesz pełnej pary.

Zgubienie znaku minus

Błędy znaków są częste zarówno przy przekształceniach, jak i przy podstawianiu. W powyższym przykładzie krok $2x - (10 - x)$ musi dać $2x - 10 + x$, a nie $2x - 10 - x$.

Mechaniczny wybór metody

Jeśli jedna zmienna jest już wyznaczona, podstawianie może być szybsze. Jeśli współczynniki już się redukują, eliminacja może być prostsza. Wybranie łatwiejszej drogi zmniejsza liczbę błędów.

Pomijanie sprawdzenia

Błędna odpowiedź może nadal wyglądać schludnie. Sprawdzenie obu równań to jeden z najszybszych sposobów na wychwycenie pomyłki.

Gdzie stosuje się układy równań

W szkolnej matematyce układy równań pojawiają się w algebrze, na wykresach i w zadaniach tekstowych dotyczących sum, różnic, cen lub mieszanin. Szerzej rzecz biorąc, są używane wszędzie tam, gdzie dwie zależności muszą być spełnione dla tych samych niewiadomych.

Przypadek liniowy jest zwykle punktem wyjścia, ale ta sama idea rozszerza się także na większe układy oraz na równania nieliniowe.

Spróbuj podobnego zadania

Rozwiąż

$$x + y = 13$$

oraz

$$3x - y = 7$$

Najpierw rozwiąż je metodą eliminacji. Następnie rozwiąż ten sam układ metodą podstawiania i sprawdź, czy obie metody dają tę samą parę uporządkowaną. Jeśli potem chcesz kolejny przypadek, spróbuj zmienić wyrazy wolne i zobacz, która metoda staje się szybsza.