Sistemas de Equações — Substituição e Eliminação

Sistemas de equações são duas ou mais equações resolvidas em conjunto, porque os mesmos valores precisam satisfazer todas elas ao mesmo tempo. No caso mais comum da álgebra, você resolve duas equações lineares com duas variáveis para encontrar um par ordenado $(x, y)$ que torne ambas as equações verdadeiras.

Os dois principais métodos são substituição e eliminação. A substituição costuma ser mais rápida quando uma variável já está isolada. A eliminação costuma ser mais rápida quando uma variável pode ser cancelada ao somar ou subtrair as equações.

O que significa uma solução de um sistema de equações

Cada equação impõe uma condição sobre as mesmas incógnitas. Uma solução só funciona se satisfizer todas as condições, e não apenas uma delas.

No caso de equações lineares, você também pode pensar na solução como o ponto em que duas retas se encontram. Se as retas se cruzam uma vez, há uma solução. Se são paralelas, não há solução. Se são a mesma reta, há infinitas soluções.

Quando usar substituição ou eliminação

Use substituição quando uma variável já estiver sozinha, ou puder ser isolada sem muita reorganização. Por exemplo, $y = 10 - x$ é fácil de substituir em outra equação.

Use eliminação quando uma variável puder ser cancelada ao somar ou subtrair as equações. Isso é especialmente eficiente quando os coeficientes já são iguais ou opostos.

Nenhum dos métodos é mais correto que o outro. A questão prática é qual deles leva você mais rápido a uma equação simples.

Exemplo resolvido: resolvendo um sistema de equações

Resolva

$$x + y = 10$$

e

$$2x - y = 2$$

Método 1: Eliminação

Este sistema é favorável para eliminação porque os termos em $y$ são opostos.

Some as equações:

$$(x + y) + (2x - y) = 10 + 2$$

Então

$$3x = 12$$

o que dá

$$x = 4$$

Agora substitua $x = 4$ em $x + y = 10$:

$$4 + y = 10$$

logo

$$y = 6$$

A solução é

$$(x, y) = (4, 6)$$

Método 2: Substituição

Comece pela primeira equação:

$$x + y = 10$$

Reorganize-a para deixar uma variável isolada:

$$y = 10 - x$$

Substitua isso na segunda equação:

$$2x - (10 - x) = 2$$

Agora simplifique:

$$2x - 10 + x = 2$$ $$3x - 10 = 2$$ $$3x = 12$$ $$x = 4$$

Depois use $y = 10 - x$:

$$y = 10 - 4 = 6$$

Então a solução é novamente

$$(x, y) = (4, 6)$$

Os dois métodos levam ao mesmo par ordenado porque estão resolvendo o mesmo sistema. A escolha tem a ver com eficiência, não com correção.

Verifique a resposta nas duas equações

Verifique o par nas duas equações originais:

$$4 + 6 = 10$$

e

$$2(4) - 6 = 8 - 6 = 2$$

As duas equações são verdadeiras, então a solução está correta.

Erros comuns em sistemas de equações

Resolver apenas uma variável

Encontrar $x$ não basta se a questão pede a solução do sistema. Normalmente, você precisa do par completo.

Perder um sinal de menos

Erros de sinal são comuns tanto na reorganização quanto na substituição. No exemplo acima, a etapa $2x - (10 - x)$ deve virar $2x - 10 + x$, e não $2x - 10 - x$.

Escolher um método de forma mecânica

Se uma variável já estiver isolada, a substituição pode ser mais rápida. Se os coeficientes já se cancelam, a eliminação pode ser mais limpa. Escolher o caminho mais fácil reduz erros.

Pular a verificação

Uma resposta errada ainda pode parecer organizada. Verificar nas duas equações é uma das formas mais rápidas de encontrar um deslize.

Onde os sistemas de equações são usados

Na matemática escolar, sistemas de equações aparecem em álgebra, gráficos e problemas de palavras envolvendo totais, diferenças, preços ou misturas. De forma mais ampla, eles são usados sempre que duas relações precisam valer para as mesmas quantidades desconhecidas.

O caso linear é o ponto de partida mais comum, mas a mesma ideia se estende a sistemas maiores e também a equações não lineares.

Tente um problema parecido

Resolva

$$x + y = 13$$

e

$$3x - y = 7$$

Primeiro, resolva por eliminação. Depois, resolva o mesmo sistema por substituição e verifique que os dois métodos dão o mesmo par ordenado. Se quiser outro caso depois disso, tente mudar as constantes e veja qual método fica mais rápido.