連立方程式 — 代入法と加減法

連立方程式とは、同じ値がすべての式を同時に満たさなければならないため、2つ以上の方程式をまとめて解くものです。ふつうの代数では、2つの変数を含む2本の一次方程式を解いて、両方の式を成り立たせる1組の順序対 $(x, y)$ を求めます。

主な解き方は、代入法と加減法の2つです。代入法は、すでに1つの変数が孤立しているときに速く解けることが多いです。加減法は、式を足したり引いたりするとある変数が消えるときに便利です。

連立方程式の解とは何か

それぞれの方程式は、同じ未知数に対する1つの条件を表しています。解になるのは、1つの条件だけでなく、すべての条件を満たす場合だけです。

一次方程式なら、解は2本の直線の交点と考えることもできます。直線が1回だけ交われば、解は1つです。平行なら解はありません。同じ直線なら、解は無数にあります。

代入法と加減法の使い分け

ある変数がすでに単独になっている、または少し式変形するだけで単独にできるなら、代入法を使います。たとえば、$y = 10 - x$ はそのまま別の式に代入しやすい形です。

式を足したり引いたりして、ある変数を消せるなら加減法を使います。特に、係数がすでに同じ大きさか、符号が反対になっているときは効率的です。

どちらの方法がより正しいということはありません。実際には、どちらがより早くすっきりした式にたどり着けるかがポイントです。

例題：連立方程式を解く

次を解きます。

$$x + y = 10$$

および

$$2x - y = 2$$

方法1：加減法

この連立方程式は、$y$ の項の符号が反対なので、加減法に向いています。

式を足すと、

$$(x + y) + (2x - y) = 10 + 2$$

したがって、

$$3x = 12$$

よって、

$$x = 4$$

次に、$x = 4$ を $x + y = 10$ に代入します。

$$4 + y = 10$$

したがって、

$$y = 6$$

解は

$$(x, y) = (4, 6)$$

です。

方法2：代入法

最初の式から始めます。

$$x + y = 10$$

1つの変数が主語になるように式を変形すると、

$$y = 10 - x$$

これを2本目の式に代入します。

$$2x - (10 - x) = 2$$

これを整理すると、

$$2x - 10 + x = 2$$ $$3x - 10 = 2$$ $$3x = 12$$ $$x = 4$$

次に、$y = 10 - x$ を使うと、

$$y = 10 - 4 = 6$$

したがって、解は再び

$$(x, y) = (4, 6)$$

となります。

どちらの方法でも同じ順序対になるのは、同じ連立方程式を解いているからです。違うのは正しさではなく、効率です。

両方の式で答えを確かめる

元の2つの式に代入して確認します。

$$4 + 6 = 10$$

および

$$2(4) - 6 = 8 - 6 = 2$$

どちらの式も成り立つので、この解は正しいです。

連立方程式でよくあるミス

1つの変数だけ求めて終わる

問題が連立方程式の解を求めるものなら、$x$ だけでは不十分です。ふつうは組全体を求める必要があります。

マイナス符号を落とす

符号のミスは、式変形でも代入でもよく起こります。上の例では、$2x - (10 - x)$ は $2x - 10 + x$ であり、$2x - 10 - x$ ではありません。

機械的に方法を選ぶ

すでに1つの変数が単独なら、代入法のほうが速いかもしれません。係数がすでに打ち消し合うなら、加減法のほうがすっきりします。簡単な道を選ぶと、ミスも減ります。

確認を省く

間違った答えでも見た目は整っていることがあります。両方の式で確かめるのは、ミスを見つける最も速い方法の1つです。

連立方程式が使われる場面

学校数学では、連立方程式は代数、グラフ、合計・差・値段・混合に関する文章題でよく出てきます。より広くいえば、同じ未知数について2つの関係が同時に成り立つ必要がある場面で使われます。

一次方程式の連立がふつうの出発点ですが、考え方自体は、より大きな連立や非線形方程式にも広がります。

似た問題に挑戦してみよう

次を解いてみましょう。

$$x + y = 13$$

および

$$3x - y = 7$$

まず加減法で解いてみてください。次に同じ連立方程式を代入法でも解き、どちらの方法でも同じ順序対になることを確かめましょう。そのあとでさらに試すなら、定数を変えて、どちらの方法がより速くなるか比べてみてください。