Hệ phương trình — Thế & khử

Hệ phương trình là hai hoặc nhiều phương trình được giải cùng nhau vì cùng một bộ giá trị phải đồng thời thỏa mãn tất cả các phương trình. Trong trường hợp đại số thường gặp, bạn giải hai phương trình bậc nhất hai ẩn để tìm một cặp có thứ tự $(x, y)$ làm cho cả hai phương trình đều đúng.

Hai phương pháp chính là thế và khử. Phương pháp thế thường nhanh hơn khi một ẩn đã được tách sẵn. Phương pháp khử thường nhanh hơn khi một ẩn sẽ bị triệt tiêu sau khi cộng hoặc trừ hai phương trình.

Nghiệm của hệ phương trình có nghĩa là gì

Mỗi phương trình đưa ra một điều kiện đối với cùng các ẩn số. Một nghiệm chỉ đúng nếu nó thỏa mãn mọi điều kiện, không chỉ một điều kiện riêng lẻ.

Với các phương trình bậc nhất, bạn cũng có thể hiểu nghiệm là điểm mà hai đường thẳng cắt nhau. Nếu hai đường cắt nhau một lần thì có một nghiệm. Nếu chúng song song thì vô nghiệm. Nếu chúng là cùng một đường thẳng thì có vô số nghiệm.

Khi nào dùng phương pháp thế và khi nào dùng phương pháp khử

Dùng phương pháp thế khi một ẩn đã đứng riêng, hoặc có thể tách ra mà không cần biến đổi nhiều. Ví dụ, $y = 10 - x$ rất dễ thay vào một phương trình khác.

Dùng phương pháp khử khi một ẩn có thể bị triệt tiêu bằng cách cộng hoặc trừ các phương trình. Cách này đặc biệt hiệu quả khi các hệ số đã bằng nhau hoặc đối nhau.

Không có phương pháp nào đúng hơn phương pháp kia. Câu hỏi thực tế là cách nào đưa bạn đến một phương trình gọn hơn nhanh hơn.

Ví dụ có lời giải: giải một hệ phương trình

Giải

$$x + y = 10$$

và

$$2x - y = 2$$

Cách 1: Phương pháp khử

Hệ này thuận tiện cho phương pháp khử vì các hạng tử $y$ đối nhau.

Cộng hai phương trình:

$$(x + y) + (2x - y) = 10 + 2$$

Suy ra

$$3x = 12$$

nên

$$x = 4$$

Bây giờ thay $x = 4$ vào $x + y = 10$:

$$4 + y = 10$$

nên

$$y = 6$$

Vậy nghiệm là

$$(x, y) = (4, 6)$$

Cách 2: Phương pháp thế

Bắt đầu từ phương trình thứ nhất:

$$x + y = 10$$

Biến đổi để đưa một ẩn về một vế:

$$y = 10 - x$$

Thế vào phương trình thứ hai:

$$2x - (10 - x) = 2$$

Bây giờ rút gọn:

$$2x - 10 + x = 2$$ $$3x - 10 = 2$$ $$3x = 12$$ $$x = 4$$

Sau đó dùng $y = 10 - x$:

$$y = 10 - 4 = 6$$

Vậy nghiệm vẫn là

$$(x, y) = (4, 6)$$

Cả hai phương pháp đều cho cùng một cặp có thứ tự vì chúng đang giải cùng một hệ. Việc lựa chọn là để hiệu quả hơn, không phải để đúng hơn.

Kiểm tra đáp án trong cả hai phương trình

Kiểm tra cặp nghiệm trong cả hai phương trình ban đầu:

$$4 + 6 = 10$$

và

$$2(4) - 6 = 8 - 6 = 2$$

Cả hai phương trình đều đúng, nên nghiệm là chính xác.

Những lỗi thường gặp khi giải hệ phương trình

Chỉ tìm một ẩn

Tìm được $x$ là chưa đủ nếu câu hỏi yêu cầu nghiệm của cả hệ. Thông thường bạn cần đầy đủ cặp nghiệm.

Làm mất dấu âm

Lỗi dấu rất hay xảy ra khi biến đổi và khi thế. Trong ví dụ trên, bước $2x - (10 - x)$ phải trở thành $2x - 10 + x$, không phải $2x - 10 - x$.

Chọn phương pháp một cách máy móc

Nếu một ẩn đã được tách sẵn thì phương pháp thế có thể nhanh hơn. Nếu các hệ số đã triệt tiêu được thì phương pháp khử có thể gọn hơn. Chọn con đường dễ hơn sẽ giảm sai sót.

Bỏ qua bước kiểm tra

Một đáp án sai vẫn có thể trông rất gọn gàng. Kiểm tra lại cả hai phương trình là một trong những cách nhanh nhất để phát hiện sai sót.

Hệ phương trình được dùng ở đâu

Trong toán học ở trường, hệ phương trình xuất hiện trong đại số, vẽ đồ thị và các bài toán có lời văn liên quan đến tổng, hiệu, giá cả hoặc pha trộn. Rộng hơn, chúng được dùng bất cứ khi nào hai mối quan hệ phải đồng thời đúng với cùng một lượng chưa biết.

Trường hợp bậc nhất là điểm khởi đầu quen thuộc, nhưng ý tưởng này cũng mở rộng sang các hệ lớn hơn và cả các phương trình phi tuyến.

Hãy thử một bài tương tự

Giải

$$x + y = 13$$

và

$$3x - y = 7$$

Trước hết hãy giải bằng phương pháp khử. Sau đó giải cùng hệ đó bằng phương pháp thế và kiểm tra xem cả hai cách có cho cùng một cặp có thứ tự hay không. Nếu muốn thử thêm một trường hợp nữa, hãy thay đổi các hằng số và xem phương pháp nào trở nên nhanh hơn.