สมการพร้อมกัน — การแทนค่าและการกำจัด

สมการพร้อมกันคือสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปที่ต้องแก้ไปพร้อมกัน เพราะค่าชุดเดียวกันต้องทำให้ทุกสมการเป็นจริงในเวลาเดียวกัน ในกรณีพีชคณิตทั่วไป เรามักแก้สมการเชิงเส้นสองสมการที่มีสองตัวแปร เพื่อหาคู่อันดับ $(x, y)$ หนึ่งคู่ที่ทำให้ทั้งสองสมการเป็นจริง

วิธีหลักมีอยู่สองวิธีคือ การแทนค่า และการกำจัด การแทนค่ามักจะเร็วกว่าเมื่อมีตัวแปรหนึ่งถูกแยกออกมาแล้ว ส่วนการกำจัดมักจะเร็วกว่าเมื่อตัวแปรหนึ่งสามารถตัดกันได้หลังจากบวกหรือลบสมการ

คำตอบของสมการพร้อมกันหมายถึงอะไร

แต่ละสมการให้เงื่อนไขหนึ่งข้อกับตัวไม่ทราบค่าเดียวกัน คำตอบจะใช้ได้ก็ต่อเมื่อทำให้ทุกเงื่อนไขเป็นจริง ไม่ใช่แค่สมการใดสมการหนึ่ง

สำหรับสมการเชิงเส้น คุณยังมองคำตอบได้ว่าเป็นจุดที่เส้นตรงสองเส้นตัดกัน ถ้าเส้นตรงตัดกันหนึ่งครั้ง จะมีคำตอบหนึ่งคำตอบ ถ้าเส้นขนานกัน จะไม่มีคำตอบ และถ้าเป็นเส้นเดียวกัน จะมีคำตอบไม่สิ้นสุด

ควรใช้การแทนค่าเมื่อไร และควรใช้การกำจัดเมื่อไร

ใช้การแทนค่าเมื่อมีตัวแปรหนึ่งอยู่ลำพังแล้ว หรือสามารถจัดรูปให้แยกตัวแปรได้โดยไม่ยุ่งยากมาก ตัวอย่างเช่น $y = 10 - x$ สามารถนำไปแทนในอีกสมการหนึ่งได้ง่าย

ใช้การกำจัดเมื่อตัวแปรหนึ่งสามารถถูกตัดออกได้ด้วยการบวกหรือลบสมการ วิธีนี้มีประสิทธิภาพเป็นพิเศษเมื่อสัมประสิทธิ์มีค่าเท่ากันหรือเป็นจำนวนตรงข้ามกันอยู่แล้ว

ไม่มีวิธีใดถูกต้องกว่าวิธีอื่น คำถามในทางปฏิบัติคือ วิธีไหนพาไปสู่สมการที่จัดการได้ง่ายกว่าและเร็วกว่า

ตัวอย่างทำโจทย์: แก้สมการพร้อมกันหนึ่งคู่

จงแก้

$$x + y = 10$$

และ

$$2x - y = 2$$

วิธีที่ 1: การกำจัด

ระบบสมการนี้เหมาะกับการกำจัด เพราะพจน์ $y$ เป็นจำนวนตรงข้ามกัน

บวกสมการเข้าด้วยกัน:

$$(x + y) + (2x - y) = 10 + 2$$

ดังนั้น

$$3x = 12$$

จึงได้ว่า

$$x = 4$$

ตอนนี้แทน $x = 4$ ลงใน $x + y = 10$:

$$4 + y = 10$$

ดังนั้น

$$y = 6$$

คำตอบคือ

$$(x, y) = (4, 6)$$

วิธีที่ 2: การแทนค่า

เริ่มจากสมการแรก:

$$x + y = 10$$

จัดรูปให้มีตัวแปรหนึ่งเป็นประธาน:

$$y = 10 - x$$

แทนค่านี้ลงในสมการที่สอง:

$$2x - (10 - x) = 2$$

ตอนนี้จัดรูปอย่างง่าย:

$$2x - 10 + x = 2$$ $$3x - 10 = 2$$ $$3x = 12$$ $$x = 4$$

จากนั้นใช้ $y = 10 - x$:

$$y = 10 - 4 = 6$$

ดังนั้นคำตอบก็ยังเป็น

$$(x, y) = (4, 6)$$

ทั้งสองวิธีนำไปสู่คู่อันดับเดียวกัน เพราะกำลังแก้ระบบสมการเดียวกัน การเลือกวิธีจึงขึ้นอยู่กับความสะดวกและความรวดเร็ว ไม่ใช่ความถูกต้อง

ตรวจคำตอบในทั้งสองสมการ

ตรวจคู่อันดับนี้ในสมการเดิมทั้งสองสมการ:

$$4 + 6 = 10$$

และ

$$2(4) - 6 = 8 - 6 = 2$$

ทั้งสองสมการเป็นจริง ดังนั้นคำตอบจึงถูกต้อง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในสมการพร้อมกัน

หาเพียงตัวแปรเดียว

การหา $x$ อย่างเดียวไม่เพียงพอ ถ้าโจทย์ถามหาคำตอบของระบบสมการ โดยปกติคุณต้องหาคู่อันดับให้ครบ

ทำเครื่องหมายลบหาย

ความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมายเกิดขึ้นได้บ่อยทั้งตอนจัดรูปและตอนแทนค่า ในตัวอย่างข้างบน ขั้น $2x - (10 - x)$ ต้องกลายเป็น $2x - 10 + x$ ไม่ใช่ $2x - 10 - x$

เลือกวิธีแบบตายตัว

ถ้ามีตัวแปรหนึ่งถูกแยกไว้แล้ว การแทนค่าอาจเร็วกว่า ถ้าสัมประสิทธิ์ตัดกันได้อยู่แล้ว การกำจัดอาจจะง่ายกว่า การเลือกทางที่ง่ายกว่าจะช่วยลดความผิดพลาด

ข้ามขั้นตอนการตรวจคำตอบ

คำตอบที่ผิดก็อาจดูเป็นระเบียบได้ การตรวจในทั้งสองสมการเป็นวิธีที่เร็วที่สุดวิธีหนึ่งในการจับข้อผิดพลาด

สมการพร้อมกันนำไปใช้ที่ไหน

ในคณิตศาสตร์ระดับโรงเรียน สมการพร้อมกันพบได้ในพีชคณิต การเขียนกราฟ และโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับผลรวม ผลต่าง ราคา หรือการผสม โดยทั่วไปแล้ว สมการพร้อมกันถูกใช้เมื่อมีความสัมพันธ์สองอย่างที่ต้องเป็นจริงพร้อมกันสำหรับปริมาณที่ไม่ทราบค่าเดียวกัน

กรณีเชิงเส้นเป็นจุดเริ่มต้นที่พบบ่อยที่สุด แต่แนวคิดเดียวกันนี้ยังขยายไปสู่ระบบที่ใหญ่ขึ้นและสมการไม่เชิงเส้นได้ด้วย

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

จงแก้

$$x + y = 13$$

และ

$$3x - y = 7$$

ก่อนอื่นให้แก้ด้วยวิธีการกำจัด จากนั้นแก้ระบบเดียวกันด้วยวิธีการแทนค่า และตรวจว่าทั้งสองวิธีให้คู่อันดับเดียวกันหรือไม่ ถ้าต้องการลองอีกกรณีหนึ่ง ให้เปลี่ยนค่าคงที่แล้วสังเกตว่าวิธีไหนเร็วกว่า