Sistem Persamaan — Substitusi & Eliminasi

Sistem persamaan adalah dua atau lebih persamaan yang diselesaikan bersama karena nilai yang sama harus memenuhi semuanya sekaligus. Dalam kasus aljabar yang umum, kamu menyelesaikan dua persamaan linear dengan dua variabel untuk menemukan satu pasangan berurutan $(x, y)$ yang membuat kedua persamaan benar.

Dua metode utamanya adalah substitusi dan eliminasi. Substitusi biasanya lebih cepat ketika satu variabel sudah diisolasi. Eliminasi biasanya lebih cepat ketika suatu variabel akan saling menghapus setelah persamaan dijumlahkan atau dikurangkan.

Apa arti solusi dari sistem persamaan

Setiap persamaan memberi satu syarat pada variabel yang sama. Sebuah solusi hanya berlaku jika memenuhi setiap syarat, bukan hanya salah satunya.

Untuk persamaan linear, kamu juga bisa memandang solusi sebagai titik perpotongan dua garis. Jika kedua garis berpotongan satu kali, ada satu solusi. Jika sejajar, tidak ada solusi. Jika keduanya adalah garis yang sama, ada tak hingga banyak solusi.

Kapan memakai substitusi vs. eliminasi

Gunakan substitusi ketika satu variabel sudah berdiri sendiri, atau bisa diisolasi tanpa banyak mengubah bentuk. Misalnya, $y = 10 - x$ mudah dimasukkan ke persamaan lain.

Gunakan eliminasi ketika satu variabel bisa dihapus dengan menjumlahkan atau mengurangkan persamaan. Ini sangat efisien terutama ketika koefisiennya sudah sama atau berlawanan.

Tidak ada metode yang lebih benar daripada yang lain. Pertanyaan praktisnya adalah metode mana yang membawamu ke persamaan yang lebih sederhana dengan lebih cepat.

Contoh dikerjakan: selesaikan sepasang sistem persamaan

Selesaikan

$$x + y = 10$$

dan

$$2x - y = 2$$

Metode 1: Eliminasi

Sistem ini cocok untuk eliminasi karena suku $y$ saling berlawanan.

Jumlahkan persamaannya:

$$(x + y) + (2x - y) = 10 + 2$$

Maka

$$3x = 12$$

sehingga diperoleh

$$x = 4$$

Sekarang substitusikan $x = 4$ ke $x + y = 10$:

$$4 + y = 10$$

jadi

$$y = 6$$

Solusinya adalah

$$(x, y) = (4, 6)$$

Metode 2: Substitusi

Mulai dari persamaan pertama:

$$x + y = 10$$

Ubah bentuknya agar satu variabel menjadi subjek:

$$y = 10 - x$$

Substitusikan itu ke persamaan kedua:

$$2x - (10 - x) = 2$$

Sekarang sederhanakan:

$$2x - 10 + x = 2$$ $$3x - 10 = 2$$ $$3x = 12$$ $$x = 4$$

Lalu gunakan $y = 10 - x$:

$$y = 10 - 4 = 6$$

Jadi solusinya kembali

$$(x, y) = (4, 6)$$

Kedua metode menghasilkan pasangan berurutan yang sama karena keduanya menyelesaikan sistem yang sama. Pilihannya soal efisiensi, bukan kebenaran.

Periksa jawaban pada kedua persamaan

Periksa pasangan itu pada kedua persamaan asal:

$$4 + 6 = 10$$

dan

$$2(4) - 6 = 8 - 6 = 2$$

Kedua persamaan benar, jadi solusinya benar.

Kesalahan umum pada sistem persamaan

Hanya mencari satu variabel

Menemukan $x$ saja tidak cukup jika soal meminta solusi sistem. Biasanya kamu perlu pasangan lengkapnya.

Kehilangan tanda negatif

Kesalahan tanda sering terjadi baik saat mengubah bentuk maupun saat substitusi. Pada contoh di atas, langkah $2x - (10 - x)$ harus menjadi $2x - 10 + x$, bukan $2x - 10 - x$.

Memilih metode secara mekanis

Jika satu variabel sudah diisolasi, substitusi mungkin lebih cepat. Jika koefisien sudah saling menghapus, eliminasi mungkin lebih rapi. Memilih cara yang lebih mudah membantu mengurangi kesalahan.

Melewatkan pemeriksaan

Jawaban yang salah tetap bisa terlihat rapi. Memeriksa kedua persamaan adalah salah satu cara tercepat untuk menemukan kesalahan.

Di mana sistem persamaan digunakan

Dalam matematika sekolah, sistem persamaan muncul dalam aljabar, grafik, dan soal cerita yang melibatkan jumlah, selisih, harga, atau campuran. Secara lebih luas, sistem ini digunakan kapan pun dua hubungan harus berlaku untuk besaran tak diketahui yang sama.

Kasus linear adalah titik awal yang paling umum, tetapi gagasan yang sama juga berlaku untuk sistem yang lebih besar dan untuk persamaan non-linear.

Coba soal serupa

Selesaikan

$$x + y = 13$$

dan

$$3x - y = 7$$

Pertama, selesaikan dengan eliminasi. Lalu selesaikan sistem yang sama dengan substitusi dan periksa bahwa kedua metode memberi pasangan berurutan yang sama. Jika ingin mencoba kasus lain setelah itu, ubah konstanta-konstantanya dan lihat metode mana yang menjadi lebih cepat.