关系与函数——类型、定义域和值域

关系是任意一组有序对。函数是一种特殊的关系，其中每个输入都恰好对应一个输出。求定义域时，收集第一坐标；求值域时，收集实际出现的输出值。

这就是大多数“关系与函数”题目的核心思想。只要你会检查“一个输入对应一个输出”的规则，定义域、值域和映射类型就会容易判断得多。

关系与函数：关键区别

关系可以用任意方式把输入和输出配对。例如，

$$R = \{(1,2),(1,3),(2,3)\}$$

是一个关系，但它不是函数。因为输入 $1$ 同时对应了 $2$ 和 $3$。

函数遵循一条规则：

$$\text{each input has exactly one output}$$

不同的输入仍然可以对应同一个输出，这是允许的。

例如，

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

是一个函数，因为没有哪个第一坐标对应两个不同的第二坐标。

如何求定义域和值域

定义域是所有输入组成的集合，所以看第一坐标。值域是所有实际出现的输出组成的集合，所以看第二坐标。

对于

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

可得

$$\text{domain}(f) = \{1,2,3,4\}$$

以及

$$\text{range}(f) = \{2,3,5\}$$

注意，$3$ 作为输出出现了两次，但在集合中仍然只写一次。值域列出的是不同的输出值，而不是它们出现的次数。

如果题目还给出了陪域，不要自动把它当成值域。陪域是输出允许取值的较大目标集合，而值域是函数实际取到的那个子集。

映射类型：哪些可以是函数

当人们对关系和函数分类时，通常指的是下面几种情况：

• 一对一：每个输入对应一个输出，而且不同输入得到不同输出。
• 多对一：不同输入可以对应同一个输出。
• 一对多：一个输入对应多个输出。
• 多对多：重复输入和重复输出都以更不受限制的方式出现。

只有前两种可以是函数。一对多关系永远不是函数，因为一个输入会对应多个输出。

例题：在一个关系中同时求定义域、值域和类型

设

$$A = \{-2,-1,0,1,2\}$$

并定义关系

$$h = \{(x,x^2) : x \in A\}$$

把有序对写出来可得

$$h = \{(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\}$$

现在一步一步检查。

定义域是所有第一坐标：

$$\{-2,-1,0,1,2\}$$

值域是所有实际出现的输出：

$$\{0,1,4\}$$

它是函数吗？是的。每个输入只出现一次，并且恰好对应一个输出。

它属于什么类型？它是多对一，不是一对一，因为 $-2$ 和 $2$ 都对应到 $4$，而 $-1$ 和 $1$ 都对应到 $1$。

很多学生容易忽略这一点：重复的输出不会破坏函数关系。真正有问题的是同一个输入对应不同的输出。

如何从图像判断

如果一个关系用图像表示，可以用竖线检验快速判断。若某条竖线与图像相交于多个点，那么同一个 $x$ 值就对应多个 $y$ 值，因此这个图像不表示函数。

这个检验之所以成立，是因为图像被看作一组 $(x,y)$ 有序对。它只是把同一条规则用图形方式表达出来：一个输入，一个输出。

关系与函数中的常见错误

认为重复输出会破坏函数

不会。函数可以是多对一。真正的问题是重复输入对应不同输出。

混淆值域和陪域

如果陪域给出为 $\{0,1,2,3,4,5\}$，值域仍然可能只有 $\{0,1,4\}$。值域指实际输出，不是所有允许的输出。

忘记定义域限制

一个公式本身并不总能说明全部情况。例如，$f(x)=1/x$ 在 $x=0$ 时没有定义，所以 $0$ 不能属于定义域。

以为每个关系都是函数

关系是更宽泛的概念，函数则是这个更大类别中的更严格情形。

关系与函数的应用

当你想描述哪些对象与哪些对象有关联时，关系就很有用。这在集合论、数据库、图论和解析几何中都会出现。

函数则更加核心。代数、微积分、统计学、物理学和计算机科学都用函数来描述一个量如何依赖于另一个量。只要你看到“输入这个值，得到那个输出”这样的规则，通常看到的就是函数。

试着做一道类似的题

用定义域 $\{1,2,3\}$ 构造一个小关系。先让它不是函数：给某个输入配上两个不同的输出。然后只改动一个有序对，使它变成函数，再比较修改前后的定义域和值域。这是帮助你真正理解两者区别的最快方法之一。