Relazioni e funzioni — tipi, dominio e immagine

Una relazione è un qualsiasi insieme di coppie ordinate. Una funzione è una relazione in cui ogni input ha esattamente un output. Per trovare il dominio, raccogli le prime coordinate. Per trovare l’immagine, raccogli gli output che compaiono davvero.

Questa è l’idea centrale dietro la maggior parte degli esercizi su "relazioni e funzioni". Una volta che sai controllare la regola un input-un output, dominio, immagine e tipo di corrispondenza diventano molto più facili da distinguere.

Relazione vs funzione: la differenza chiave

Una relazione può associare input e output in qualsiasi modo. Per esempio,

$$R = \{(1,2),(1,3),(2,3)\}$$

è una relazione, ma non è una funzione. L’input $1$ è associato sia a $2$ sia a $3$.

Una funzione segue una sola regola:

$$\text{each input has exactly one output}$$

Input diversi possono comunque avere lo stesso output. Questo è consentito.

Per esempio,

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

è una funzione perché nessuna prima coordinata è associata a due seconde coordinate diverse.

Come trovare dominio e immagine

Il dominio è l’insieme di tutti gli input, quindi si ricava dalle prime coordinate. L’immagine è l’insieme degli output che compaiono davvero, quindi si ricava dalle seconde coordinate.

Usando

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

otteniamo

$$\text{domain}(f) = \{1,2,3,4\}$$

e

$$\text{range}(f) = \{2,3,5\}$$

Nota che $3$ compare due volte come output, ma in un insieme si scrive comunque una sola volta. L’immagine elenca gli output distinti, non quante volte compaiono.

Se in un problema è dato anche il codominio, non considerarlo automaticamente come immagine. Il codominio è l’insieme di arrivo più ampio da cui gli output possono provenire. L’immagine è il sottoinsieme che la funzione assume davvero.

Tipi di corrispondenza: quali possono essere funzioni

Quando si classificano relazioni e funzioni, di solito si intende uno di questi schemi:

• Uno-a-uno: ogni input ha un output, e input diversi danno output diversi.
• Molti-a-uno: input diversi possono avere lo stesso output.
• Uno-a-molti: un input è associato a più di un output.
• Molti-a-molti: input ripetuti e output ripetuti compaiono entrambi in modo meno vincolato.

Solo i primi due possono essere funzioni. Una relazione uno-a-molti non è mai una funzione, perché un input avrebbe più output.

Esempio svolto: dominio, immagine e tipo in un’unica relazione

Sia

$$A = \{-2,-1,0,1,2\}$$

e definiamo una relazione con

$$h = \{(x,x^2) : x \in A\}$$

Scrivendo esplicitamente le coppie otteniamo

$$h = \{(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\}$$

Ora controlliamo passo per passo.

Il dominio è l’insieme di tutte le prime coordinate:

$$\{-2,-1,0,1,2\}$$

L’immagine è l’insieme di tutti gli output che compaiono davvero:

$$\{0,1,4\}$$

È una funzione? Sì. Ogni input compare una sola volta e ha esattamente un output.

Che tipo è? È molti-a-uno, non uno-a-uno, perché sia $-2$ sia $2$ corrispondono a $4$, e sia $-1$ sia $1$ corrispondono a $1$.

Questo è il punto che molti studenti non colgono: output ripetuti non impediscono a una relazione di essere una funzione. Sono invece gli input ripetuti con output diversi a impedirlo.

Come capirlo da un grafico

Se una relazione è rappresentata su un grafico, il test della retta verticale è un controllo rapido. Se una retta verticale interseca il grafico in più di un punto, allora uno stesso valore di $x$ ha più di un valore di $y$, quindi il grafico non rappresenta una funzione.

Questo test funziona solo perché il grafico viene letto come insieme di coppie $(x,y)$. È una riformulazione visiva della stessa regola: un input, un output.

Errori comuni con relazioni e funzioni

Pensare che output ripetuti impediscano di avere una funzione

Non è così. Una funzione può essere molti-a-uno. Il problema sono gli input ripetuti con output diversi.

Confondere immagine e codominio

Se il codominio è dato, per esempio, come $\{0,1,2,3,4,5\}$, l’immagine potrebbe comunque essere solo $\{0,1,4\}$. Per immagine si intendono gli output effettivi, non tutti quelli consentiti.

Dimenticare le restrizioni sul dominio

Una formula da sola non dice sempre tutto. Per esempio, $f(x)=1/x$ non è definita per $x=0$, quindi $0$ non può appartenere al dominio.

Supporre che ogni relazione sia una funzione

Le relazioni sono il concetto più generale. Le funzioni sono il caso più restrittivo all’interno di quella categoria più ampia.

Dove si usano relazioni e funzioni

Le relazioni sono utili ogni volta che vuoi descrivere quali oggetti sono collegati ad altri. Questo compare nella teoria degli insiemi, nei database, nella teoria dei grafi e nella geometria analitica.

Le funzioni sono ancora più centrali. Algebra, calcolo, statistica, fisica e informatica usano tutte le funzioni per descrivere come una quantità dipende da un’altra. Ogni volta che vedi una regola del tipo "inserisci questo valore, ottieni quell’output", di solito stai guardando una funzione.

Prova un esercizio simile

Costruisci una piccola relazione con dominio $\{1,2,3\}$. Prima creane una che non sia una funzione, assegnando a un input due output diversi. Poi cambia una sola coppia in modo che diventi una funzione e confronta dominio e immagine prima e dopo. È uno dei modi più rapidi per fissare bene la differenza.