Bağıntı ve Fonksiyonlar — Türler, Tanım Kümesi ve Değer Kümesi

Bir bağıntı, sıralı ikililerden oluşan herhangi bir kümedir. Fonksiyon ise her girdinin tam olarak bir çıktısı olduğu bir bağıntıdır. Tanım kümesini bulmak için birinci bileşenleri toplayın. Değer kümesini bulmak için gerçekten görünen çıktıları toplayın.

Bu, çoğu "bağıntı ve fonksiyonlar" sorusunun temel fikridir. Bir girdinin tek bir çıktısı olma kuralını kontrol edebildiğinizde, tanım kümesi, değer kümesi ve eşleme türünü ayırt etmek çok daha kolay olur.

Bağıntı ve fonksiyon: temel fark

Bir bağıntı, girdileri ve çıktıları herhangi bir şekilde eşleyebilir. Örneğin,

$$R = \{(1,2),(1,3),(2,3)\}$$

bir bağıntıdır, ancak fonksiyon değildir. Çünkü $1$ girdisi hem $2$ hem de $3$ ile eşleştirilmiştir.

Bir fonksiyon şu kurala uyar:

$$\text{her girdinin tam olarak bir çıktısı vardır}$$

Farklı girdiler yine de aynı çıktıyı paylaşabilir. Buna izin verilir.

Örneğin,

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

bir fonksiyondur; çünkü hiçbir birinci bileşen iki farklı ikinci bileşenle eşleştirilmemiştir.

Tanım kümesi ve değer kümesi nasıl bulunur

Tanım kümesi tüm girdilerin kümesidir, yani birinci bileşenlerden gelir. Değer kümesi ise gerçekten görünen çıktıların kümesidir, yani ikinci bileşenlerden gelir.

Şunu kullanırsak:

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

elde ederiz:

$$\text{domain}(f) = \{1,2,3,4\}$$

ve

$$\text{range}(f) = \{2,3,5\}$$

Dikkat edin, $3$ bir çıktı olarak iki kez görünür; ama bir kümede yine bir kez yazılır. Değer kümesi, çıktıların kaç kez geçtiğini değil, farklı çıktıları listeler.

Bir soruda ayrıca bir kodomain verilirse, bunu otomatik olarak değer kümesi sanmayın. Kodomain, çıktıların gelebileceği daha geniş hedef kümedir. Değer kümesi ise fonksiyonun gerçekten ulaştığı alt kümedir.

Eşleme türleri: hangileri fonksiyon olabilir

İnsanlar bağıntıları ve fonksiyonları sınıflandırırken genellikle şu örüntülerden birini kasteder:

• Bire bir: her girdinin bir çıktısı vardır ve farklı girdiler farklı çıktılar verir.
• Çoktan bire: farklı girdiler aynı çıktıyı paylaşabilir.
• Birden çoğa: bir girdi birden fazla çıktıyla eşleştirilir.
• Çoktan çoğa: hem tekrar eden girdiler hem de tekrar eden çıktılar daha az kısıtlı bir biçimde görülür.

Yalnızca ilk ikisi fonksiyon olabilir. Birden çoğa bir bağıntı asla fonksiyon değildir; çünkü bir girdinin birden fazla çıktısı olur.

Çözümlü örnek: tek bir bağıntıda tanım kümesi, değer kümesi ve tür

Şöyle olsun:

$$A = \{-2,-1,0,1,2\}$$

ve bağıntı şu şekilde tanımlansın:

$$h = \{(x,x^2) : x \in A\}$$

İkilileri açıkça yazarsak:

$$h = \{(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\}$$

Şimdi bunu adım adım inceleyelim.

Tanım kümesi tüm birinci bileşenlerdir:

$$\{-2,-1,0,1,2\}$$

Değer kümesi ise gerçekten görünen tüm çıktılardır:

$$\{0,1,4\}$$

Bu bir fonksiyon mu? Evet. Her girdi bir kez görünür ve tam olarak bir çıktıya sahiptir.

Türü nedir? Bire bir değil, çoktan bire bir eşlemedir; çünkü hem $-2$ hem de $2$, $4$'e gider ve hem $-1$ hem de $1$, $1$'e gider.

Birçok öğrencinin kaçırdığı nokta şudur: Tekrarlanan çıktılar bir fonksiyonu bozmaz. Farklı çıktılarla eşleşen tekrarlanan girdiler bozar.

Grafikten nasıl anlaşılır

Bir bağıntı grafikte gösteriliyorsa, düşey doğru testi hızlı bir kontroldür. Eğer herhangi bir düşey doğru grafiği birden fazla noktada kesiyorsa, bu bir $x$ değerinin birden fazla $y$ değerine karşılık geldiği anlamına gelir; dolayısıyla grafik bir fonksiyonu temsil etmez.

Bu test yalnızca grafik $(x,y)$ ikilileri olarak okunduğu için çalışır. Aynı kuralın görsel bir yeniden ifadesidir: bir girdi, bir çıktı.

Bağıntılar ve fonksiyonlarla ilgili yaygın hatalar

Tekrarlanan çıktıların fonksiyonu bozduğunu sanmak

Bozmaz. Bir fonksiyon çoktan bire olabilir. Sorun, farklı çıktılarla eşleşen tekrarlanan girdilerdir.

Değer kümesi ile kodomaini karıştırmak

Kodomain örneğin $\{0,1,2,3,4,5\}$ olarak verilse bile, değer kümesi yine yalnızca $\{0,1,4\}$ olabilir. Değer kümesi, izin verilen tüm çıktılar değil, gerçek çıktılar demektir.

Tanım kümesi kısıtlarını unutmak

Bir formül tek başına her zaman her şeyi söylemez. Örneğin, $f(x)=1/x$ ifadesi $x=0$ için tanımlı değildir; bu yüzden $0$ tanım kümesinde olamaz.

Her bağıntının fonksiyon olduğunu varsaymak

Bağıntılar daha geniş kavramdır. Fonksiyonlar ise bu geniş kategorinin içindeki daha sıkı durumdur.

Bağıntılar ve fonksiyonlar nerelerde kullanılır

Bağıntılar, hangi nesnelerin hangileriyle bağlantılı olduğunu açıklamak istediğiniz her durumda kullanışlıdır. Bu durum küme teorisinde, veritabanlarında, çizge teorisinde ve analitik geometride karşımıza çıkar.

Fonksiyonlar ise daha da merkezîdir. Cebir, analiz, istatistik, fizik ve bilgisayar bilimi; bir niceliğin başka bir niceliğe nasıl bağlı olduğunu açıklamak için fonksiyonları kullanır. "Bu değeri gir, şu çıktıyı al" gibi bir kural gördüğünüzde, genellikle bir fonksiyona bakıyorsunuzdur.

Benzer bir soru deneyin

$\{1,2,3\}$ tanım kümesini kullanarak küçük bir bağıntı oluşturun. Önce bir girdiye iki farklı çıktı vererek fonksiyon olmayan bir örnek kurun. Sonra yalnızca bir ikiliyi değiştirip bunu fonksiyon hâline getirin ve önceki ve sonraki tanım kümesi ile değer kümesini karşılaştırın. Bu, farkı kalıcı biçimde anlamanın en hızlı yollarından biridir.