Quan hệ và hàm số — Các loại, miền xác định và miền giá trị

Một quan hệ là bất kỳ tập hợp nào gồm các cặp có thứ tự. Một hàm số là một quan hệ trong đó mỗi đầu vào có đúng một đầu ra. Để tìm miền xác định, lấy các tọa độ thứ nhất. Để tìm miền giá trị, lấy các đầu ra thực sự xuất hiện.

Đó là ý tưởng cốt lõi đằng sau hầu hết các bài về "quan hệ và hàm số". Khi bạn đã biết cách kiểm tra quy tắc một đầu vào - một đầu ra, thì việc xác định miền xác định, miền giá trị và kiểu ánh xạ sẽ dễ hơn nhiều.

Quan hệ và hàm số: điểm khác nhau cốt lõi

Một quan hệ có thể ghép đầu vào và đầu ra theo bất kỳ cách nào. Ví dụ,

$$R = \{(1,2),(1,3),(2,3)\}$$

là một quan hệ, nhưng không phải là hàm số. Đầu vào $1$ được ghép với cả $2$ và $3$.

Một hàm số tuân theo một quy tắc:

$$\text{each input has exactly one output}$$

Các đầu vào khác nhau vẫn có thể cho cùng một đầu ra. Điều đó được phép.

Ví dụ,

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

là một hàm số vì không có tọa độ thứ nhất nào được ghép với hai tọa độ thứ hai khác nhau.

Cách tìm miền xác định và miền giá trị

Miền xác định là tập hợp của tất cả đầu vào, nên nó được lấy từ các tọa độ thứ nhất. Miền giá trị là tập hợp các đầu ra thực sự xuất hiện, nên nó được lấy từ các tọa độ thứ hai.

Với

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

ta có

$$\text{domain}(f) = \{1,2,3,4\}$$

và

$$\text{range}(f) = \{2,3,5\}$$

Lưu ý rằng $3$ xuất hiện hai lần ở vai trò đầu ra, nhưng trong một tập hợp thì nó vẫn chỉ được viết một lần. Miền giá trị liệt kê các đầu ra phân biệt, không phải số lần chúng xuất hiện.

Nếu bài toán còn cho cả đối miền, đừng tự động xem nó là miền giá trị. Đối miền là tập đích lớn hơn mà các đầu ra được phép thuộc vào. Miền giá trị là tập con mà hàm số thực sự đạt tới.

Các kiểu ánh xạ: kiểu nào có thể là hàm số

Khi người ta phân loại quan hệ và hàm số, họ thường nói đến một trong các dạng sau:

• Một-một: mỗi đầu vào có một đầu ra, và các đầu vào khác nhau cho các đầu ra khác nhau.
• Nhiều-một: các đầu vào khác nhau có thể cho cùng một đầu ra.
• Một-nhiều: một đầu vào được ghép với nhiều hơn một đầu ra.
• Nhiều-nhiều: cả đầu vào lặp lại và đầu ra lặp lại đều xuất hiện theo cách ít bị ràng buộc hơn.

Chỉ hai kiểu đầu tiên có thể là hàm số. Một quan hệ một-nhiều không bao giờ là hàm số, vì một đầu vào sẽ có nhiều đầu ra.

Ví dụ có lời giải: miền xác định, miền giá trị và kiểu ánh xạ trong một quan hệ

Cho

$$A = \{-2,-1,0,1,2\}$$

và xác định một quan hệ bởi

$$h = \{(x,x^2) : x \in A\}$$

Viết ra các cặp ta được

$$h = \{(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\}$$

Bây giờ hãy kiểm tra từng bước.

Miền xác định là tất cả các tọa độ thứ nhất:

$$\{-2,-1,0,1,2\}$$

Miền giá trị là tất cả các đầu ra thực sự xuất hiện:

$$\{0,1,4\}$$

Nó có phải là hàm số không? Có. Mỗi đầu vào xuất hiện một lần và có đúng một đầu ra.

Nó thuộc kiểu nào? Đó là nhiều-một, không phải một-một, vì cả $-2$ và $2$ đều ánh xạ tới $4$, còn cả $-1$ và $1$ đều ánh xạ tới $1$.

Đây là điểm mà nhiều học sinh hay bỏ sót: đầu ra lặp lại không làm mất tính chất hàm số. Đầu vào lặp lại nhưng cho các đầu ra khác nhau mới là vấn đề.

Cách nhận biết từ đồ thị

Nếu một quan hệ được biểu diễn trên đồ thị, phép thử đường thẳng đứng là cách kiểm tra nhanh. Nếu có một đường thẳng đứng nào đó cắt đồ thị tại nhiều hơn một điểm, thì một giá trị $x$ sẽ có nhiều hơn một giá trị $y$, nên đồ thị đó không biểu diễn một hàm số.

Phép thử này chỉ đúng vì đồ thị đang được đọc như các cặp $(x,y)$. Nó là cách diễn đạt trực quan của cùng một quy tắc: một đầu vào, một đầu ra.

Những lỗi thường gặp với quan hệ và hàm số

Nghĩ rằng đầu ra lặp lại làm mất tính chất hàm số

Không phải vậy. Một hàm số có thể là nhiều-một. Vấn đề nằm ở đầu vào lặp lại nhưng cho các đầu ra khác nhau.

Nhầm lẫn giữa miền giá trị và đối miền

Nếu đối miền được cho là, chẳng hạn, $\{0,1,2,3,4,5\}$, thì miền giá trị vẫn có thể chỉ là $\{0,1,4\}$. Miền giá trị là các đầu ra thực tế, không phải tất cả các đầu ra được phép.

Quên các điều kiện hạn chế của miền xác định

Chỉ riêng công thức không phải lúc nào cũng cho biết toàn bộ thông tin. Ví dụ, $f(x)=1/x$ không xác định tại $x=0$, nên $0$ không thể thuộc miền xác định.

Cho rằng mọi quan hệ đều là hàm số

Quan hệ là khái niệm rộng hơn. Hàm số là trường hợp chặt chẽ hơn nằm bên trong phạm trù rộng đó.

Quan hệ và hàm số được dùng ở đâu

Quan hệ hữu ích bất cứ khi nào bạn muốn mô tả đối tượng nào liên kết với đối tượng nào khác. Điều này xuất hiện trong lý thuyết tập hợp, cơ sở dữ liệu, lý thuyết đồ thị và hình học tọa độ.

Hàm số còn giữ vai trò trung tâm hơn nữa. Đại số, giải tích, thống kê, vật lý và khoa học máy tính đều dùng hàm số để mô tả cách một đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng khác. Bất cứ khi nào bạn thấy một quy tắc như "nhập giá trị này, nhận đầu ra kia", thì rất có thể bạn đang xét một hàm số.

Hãy thử một bài tương tự

Hãy tạo một quan hệ nhỏ với miền xác định $\{1,2,3\}$. Trước hết, tạo một quan hệ không phải là hàm số bằng cách cho một đầu vào có hai đầu ra khác nhau. Sau đó chỉ thay đổi một cặp để nó trở thành hàm số, rồi so sánh miền xác định và miền giá trị trước và sau. Đó là một trong những cách nhanh nhất để ghi nhớ sự khác biệt này.