Relaciones y funciones — tipos, dominio y rango

Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados. Una función es una relación en la que cada entrada tiene exactamente una salida. Para hallar el dominio, reúne las primeras coordenadas. Para hallar el rango, reúne las salidas que realmente aparecen.

Esa es la idea central detrás de la mayoría de las preguntas sobre "relaciones y funciones". Una vez que puedes comprobar la regla de una entrada y una salida, el dominio, el rango y el tipo de correspondencia se vuelven mucho más fáciles de identificar.

Relación vs. función: la diferencia clave

Una relación puede emparejar entradas y salidas de cualquier manera. Por ejemplo,

$$R = \{(1,2),(1,3),(2,3)\}$$

es una relación, pero no es una función. La entrada $1$ está emparejada tanto con $2$ como con $3$.

Una función sigue una sola regla:

$$\text{each input has exactly one output}$$

Entradas distintas todavía pueden compartir la misma salida. Eso sí está permitido.

Por ejemplo,

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

es una función porque ninguna primera coordenada está emparejada con dos segundas coordenadas diferentes.

Cómo hallar dominio y rango

El dominio es el conjunto de todas las entradas, así que sale de las primeras coordenadas. El rango es el conjunto de las salidas que realmente aparecen, así que sale de las segundas coordenadas.

Usando

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

obtenemos

$$\text{domain}(f) = \{1,2,3,4\}$$

y

$$\text{range}(f) = \{2,3,5\}$$

Observa que $3$ aparece dos veces como salida, pero en un conjunto se escribe una sola vez. El rango enumera salidas distintas, no cuántas veces aparecen.

Si un problema también da un codominio, no lo tomes automáticamente como el rango. El codominio es el conjunto objetivo más grande del que pueden salir las salidas. El rango es el subconjunto que la función realmente alcanza.

Tipos de correspondencia: cuáles pueden ser funciones

Cuando se clasifican relaciones y funciones, normalmente se habla de uno de estos patrones:

• Uno a uno: cada entrada tiene una salida, y entradas distintas producen salidas distintas.
• Muchos a uno: entradas distintas pueden compartir la misma salida.
• Uno a muchos: una entrada está emparejada con más de una salida.
• Muchos a muchos: hay entradas repetidas y salidas repetidas de una manera menos restringida.

Solo los dos primeros pueden ser funciones. Una relación uno a muchos nunca es una función, porque una entrada tendría varias salidas.

Ejemplo resuelto: dominio, rango y tipo en una sola relación

Sea

$$A = \{-2,-1,0,1,2\}$$

y define una relación mediante

$$h = \{(x,x^2) : x \in A\}$$

Al escribir los pares obtenemos

$$h = \{(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\}$$

Ahora revísala paso a paso.

El dominio son todas las primeras coordenadas:

$$\{-2,-1,0,1,2\}$$

El rango son todas las salidas que realmente aparecen:

$$\{0,1,4\}$$

¿Es una función? Sí. Cada entrada aparece una vez y tiene exactamente una salida.

¿Qué tipo es? Es muchos a uno, no uno a uno, porque tanto $-2$ como $2$ se corresponden con $4$, y tanto $-1$ como $1$ se corresponden con $1$.

Este es el punto que muchos estudiantes pasan por alto: las salidas repetidas no hacen que deje de ser una función. Las entradas repetidas con salidas distintas sí.

Cómo identificarlo en una gráfica

Si una relación se muestra en una gráfica, la prueba de la recta vertical es una comprobación rápida. Si alguna recta vertical corta la gráfica en más de un punto, entonces un valor de $x$ tiene más de un valor de $y$, así que la gráfica no representa una función.

Esta prueba solo funciona porque la gráfica se lee como pares $(x,y)$. Es una reformulación visual de la misma regla: una entrada, una salida.

Errores comunes con relaciones y funciones

Pensar que las salidas repetidas hacen que deje de ser función

No es así. Una función puede ser muchos a uno. El problema son las entradas repetidas con salidas distintas.

Confundir rango y codominio

Si el codominio se da como, por ejemplo, $\{0,1,2,3,4,5\}$, el rango aún podría ser solo $\{0,1,4\}$. Rango significa salidas reales, no todas las salidas permitidas.

Olvidar las restricciones del dominio

Una fórmula por sí sola no siempre cuenta toda la historia. Por ejemplo, $f(x)=1/x$ no está definida en $x=0$, así que $0$ no puede estar en el dominio.

Suponer que toda relación es una función

Las relaciones son la idea más amplia. Las funciones son el caso más estricto dentro de esa categoría más general.

Dónde se usan las relaciones y las funciones

Las relaciones son útiles siempre que quieras describir qué objetos están conectados con cuáles otros. Eso aparece en teoría de conjuntos, bases de datos, teoría de grafos y geometría analítica.

Las funciones son aún más centrales. El álgebra, el cálculo, la estadística, la física y la informática usan funciones para describir cómo una cantidad depende de otra. Siempre que veas una regla como "introduce este valor y obtén esa salida", normalmente estás viendo una función.

Prueba un problema similar

Construye una relación pequeña usando el dominio $\{1,2,3\}$. Primero crea una que no sea una función haciendo que una entrada tenga dos salidas distintas. Luego cambia solo un par para que se convierta en función, y compara el dominio y el rango antes y después. Esa es una de las formas más rápidas de fijar la diferencia.