Relacje i funkcje — typy, dziedzina i zbiór wartości

Relacja to dowolny zbiór par uporządkowanych. Funkcja to relacja, w której każdemu argumentowi odpowiada dokładnie jedna wartość. Aby wyznaczyć dziedzinę, zbierz pierwsze współrzędne. Aby wyznaczyć zbiór wartości, zbierz wartości wyjściowe, które rzeczywiście występują.

To jest podstawowa idea stojąca za większością zadań o relacjach i funkcjach. Gdy umiesz sprawdzić zasadę „jeden argument — jedna wartość”, dziedzinę, zbiór wartości i typ przyporządkowania dużo łatwiej rozpoznać.

Relacja a funkcja: najważniejsza różnica

Relacja może łączyć argumenty i wartości w dowolny sposób. Na przykład

$$R = \{(1,2),(1,3),(2,3)\}$$

jest relacją, ale nie jest funkcją. Argument $1$ jest przyporządkowany zarówno do $2$, jak i do $3$.

Funkcja spełnia jedną zasadę:

$$\text{each input has exactly one output}$$

Różne argumenty mogą jednak mieć tę samą wartość. To jest dozwolone.

Na przykład

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

jest funkcją, ponieważ żadna pierwsza współrzędna nie jest połączona z dwiema różnymi drugimi współrzędnymi.

Jak wyznaczyć dziedzinę i zbiór wartości

Dziedzina to zbiór wszystkich argumentów, więc bierzemy ją z pierwszych współrzędnych. Zbiór wartości to zbiór wartości wyjściowych, które rzeczywiście występują, więc bierzemy go z drugich współrzędnych.

Dla

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

otrzymujemy

$$\text{domain}(f) = \{1,2,3,4\}$$

oraz

$$\text{range}(f) = \{2,3,5\}$$

Zauważ, że $3$ pojawia się dwa razy jako wartość wyjściowa, ale w zbiorze zapisujemy ją tylko raz. Zbiór wartości zawiera różne wartości, a nie liczbę ich wystąpień.

Jeśli w zadaniu podano także przeciwdziedzinę, nie traktuj jej automatycznie jako zbioru wartości. Przeciwdziedzina to większy zbiór docelowy, z którego mogą pochodzić wartości funkcji. Zbiór wartości to podzbiór, który funkcja rzeczywiście przyjmuje.

Typy przyporządkowań: które mogą być funkcjami

Gdy klasyfikuje się relacje i funkcje, zwykle chodzi o jeden z tych schematów:

• Różnowartościowe: każdy argument ma jedną wartość, a różnym argumentom odpowiadają różne wartości.
• Wiele-do-jednego: różne argumenty mogą mieć tę samą wartość.
• Jedno-do-wielu: jednemu argumentowi odpowiada więcej niż jedna wartość.
• Wiele-do-wielu: powtarzające się argumenty i powtarzające się wartości występują jednocześnie w mniej ograniczony sposób.

Tylko dwa pierwsze typy mogą być funkcjami. Relacja jedno-do-wielu nigdy nie jest funkcją, ponieważ jeden argument miałby wiele wartości.

Przykład z rozwiązaniem: dziedzina, zbiór wartości i typ w jednej relacji

Niech

$$A = \{-2,-1,0,1,2\}$$

i zdefiniujmy relację

$$h = \{(x,x^2) : x \in A\}$$

Po wypisaniu par otrzymujemy

$$h = \{(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\}$$

Teraz sprawdźmy to krok po kroku.

Dziedziną są wszystkie pierwsze współrzędne:

$$\{-2,-1,0,1,2\}$$

Zbiorem wartości są wszystkie wartości wyjściowe, które rzeczywiście występują:

$$\{0,1,4\}$$

Czy to jest funkcja? Tak. Każdy argument pojawia się raz i ma dokładnie jedną wartość.

Jaki to typ? To przyporządkowanie wiele-do-jednego, a nie różnowartościowe, ponieważ zarówno $-2$, jak i $2$ przechodzą na $4$, a zarówno $-1$, jak i $1$ przechodzą na $1$.

To właśnie jest punkt, który wielu uczniów pomija: powtarzające się wartości wyjściowe nie sprawiają, że coś przestaje być funkcją. Problemem są powtarzające się argumenty z różnymi wartościami.

Jak rozpoznać to z wykresu

Jeśli relacja jest przedstawiona na wykresie, szybkim sposobem sprawdzenia jest test pionowej prostej. Jeśli jakaś pionowa prosta przecina wykres w więcej niż jednym punkcie, to jedna wartość $x$ ma więcej niż jedną wartość $y$, więc wykres nie przedstawia funkcji.

Ten test działa tylko dlatego, że wykres odczytujemy jako pary $(x,y)$. To wizualne sformułowanie tej samej zasady: jeden argument, jedna wartość.

Częste błędy przy relacjach i funkcjach

Myślenie, że powtarzające się wartości wyjściowe psują funkcję

Nie psują. Funkcja może być wiele-do-jednego. Problemem są powtarzające się argumenty z różnymi wartościami.

Mylenie zbioru wartości z przeciwdziedziną

Jeśli przeciwdziedzina jest podana na przykład jako $\{0,1,2,3,4,5\}$, to zbiór wartości nadal może być tylko $\{0,1,4\}$. Zbiór wartości oznacza rzeczywiste wartości wyjściowe, a nie wszystkie dozwolone.

Zapominanie o ograniczeniach dziedziny

Sam wzór nie zawsze mówi wszystko. Na przykład $f(x)=1/x$ nie jest określona dla $x=0$, więc $0$ nie może należeć do dziedziny.

Zakładanie, że każda relacja jest funkcją

Relacje są pojęciem szerszym. Funkcje to bardziej rygorystyczny przypadek mieszczący się w tej szerszej kategorii.

Gdzie używa się relacji i funkcji

Relacje są przydatne wszędzie tam, gdzie chcesz opisać, które obiekty są połączone z którymi innymi. Pojawiają się w teorii mnogości, bazach danych, teorii grafów i geometrii analitycznej.

Funkcje są jeszcze bardziej podstawowe. Algebra, analiza, statystyka, fizyka i informatyka używają funkcji do opisywania, jak jedna wielkość zależy od drugiej. Gdy widzisz regułę typu „podaj tę wartość, otrzymasz tamtą”, zwykle masz do czynienia z funkcją.

Spróbuj podobnego zadania

Utwórz małą relację o dziedzinie $\{1,2,3\}$. Najpierw zbuduj taką, która nie jest funkcją, przypisując jednemu argumentowi dwie różne wartości. Następnie zmień tylko jedną parę, aby stała się funkcją, i porównaj dziedzinę oraz zbiór wartości przed zmianą i po niej. To jeden z najszybszych sposobów, by dobrze utrwalić tę różnicę.