Σχέσεις και Συναρτήσεις — Τύποι, Πεδίο Ορισμού & Σύνολο Τιμών

Μια σχέση είναι οποιοδήποτε σύνολο διατεταγμένων ζευγών. Μια συνάρτηση είναι μια σχέση στην οποία κάθε είσοδος έχει ακριβώς μία έξοδο. Για να βρεις το πεδίο ορισμού, συγκεντρώνεις τις πρώτες συντεταγμένες. Για να βρεις το σύνολο τιμών, συγκεντρώνεις τις εξόδους που εμφανίζονται πραγματικά.

Αυτή είναι η βασική ιδέα πίσω από τις περισσότερες ασκήσεις για «σχέσεις και συναρτήσεις». Μόλις μπορείς να ελέγχεις τον κανόνα μία είσοδος-μία έξοδος, το πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών και ο τύπος αντιστοίχισης γίνονται πολύ πιο εύκολα.

Σχέση vs. συνάρτηση: η βασική διαφορά

Μια σχέση μπορεί να αντιστοιχίζει εισόδους και εξόδους με οποιονδήποτε τρόπο. Για παράδειγμα,

$$R = \{(1,2),(1,3),(2,3)\}$$

είναι σχέση, αλλά δεν είναι συνάρτηση. Η είσοδος $1$ αντιστοιχίζεται και με το $2$ και με το $3$.

Μια συνάρτηση ακολουθεί έναν κανόνα:

$$\text{each input has exactly one output}$$

Διαφορετικές είσοδοι μπορούν παρ' όλα αυτά να έχουν την ίδια έξοδο. Αυτό επιτρέπεται.

Για παράδειγμα,

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

είναι συνάρτηση, επειδή καμία πρώτη συντεταγμένη δεν αντιστοιχίζεται με δύο διαφορετικές δεύτερες συντεταγμένες.

Πώς να βρεις πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών

Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των εισόδων, άρα προκύπτει από τις πρώτες συντεταγμένες. Το σύνολο τιμών είναι το σύνολο των εξόδων που εμφανίζονται πραγματικά, άρα προκύπτει από τις δεύτερες συντεταγμένες.

Χρησιμοποιώντας

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

παίρνουμε

$$\text{domain}(f) = \{1,2,3,4\}$$

και

$$\text{range}(f) = \{2,3,5\}$$

Πρόσεξε ότι το $3$ εμφανίζεται δύο φορές ως έξοδος, αλλά σε ένα σύνολο γράφεται μόνο μία φορά. Το σύνολο τιμών καταγράφει τις διαφορετικές εξόδους, όχι πόσες φορές εμφανίζονται.

Αν σε μια άσκηση δίνεται και σύνολο άφιξης, μην το θεωρείς αυτόματα σύνολο τιμών. Το σύνολο άφιξης είναι το μεγαλύτερο σύνολο-στόχος από το οποίο επιτρέπεται να προέρχονται οι έξοδοι. Το σύνολο τιμών είναι το υποσύνολο στο οποίο η συνάρτηση πράγματι παίρνει τιμές.

Τύποι αντιστοίχισης: ποιοι μπορούν να είναι συναρτήσεις

Όταν ταξινομούν σχέσεις και συναρτήσεις, συνήθως εννοούν ένα από τα παρακάτω μοτίβα:

• Ένα-προς-ένα: κάθε είσοδος έχει μία έξοδο και διαφορετικές είσοδοι δίνουν διαφορετικές εξόδους.
• Πολλά-προς-ένα: διαφορετικές είσοδοι μπορούν να έχουν την ίδια έξοδο.
• Ένα-προς-πολλά: μία είσοδος αντιστοιχίζεται με περισσότερες από μία εξόδους.
• Πολλά-προς-πολλά: εμφανίζονται και επαναλαμβανόμενες είσοδοι και επαναλαμβανόμενες έξοδοι με λιγότερους περιορισμούς.

Μόνο οι δύο πρώτοι μπορούν να είναι συναρτήσεις. Μια σχέση ένα-προς-πολλά δεν είναι ποτέ συνάρτηση, επειδή μία είσοδος θα είχε πολλές εξόδους.

Λυμένο παράδειγμα: πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών και τύπος σε μία σχέση

Έστω

$$A = \{-2,-1,0,1,2\}$$

και ορίζουμε μια σχέση με

$$h = \{(x,x^2) : x \in A\}$$

Αν γράψουμε αναλυτικά τα ζεύγη, παίρνουμε

$$h = \{(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\}$$

Τώρα ας το ελέγξουμε βήμα βήμα.

Το πεδίο ορισμού είναι όλες οι πρώτες συντεταγμένες:

$$\{-2,-1,0,1,2\}$$

Το σύνολο τιμών είναι όλες οι έξοδοι που εμφανίζονται πραγματικά:

$$\{0,1,4\}$$

Είναι συνάρτηση; Ναι. Κάθε είσοδος εμφανίζεται μία φορά και έχει ακριβώς μία έξοδο.

Τι τύπος είναι; Είναι πολλά-προς-ένα, όχι ένα-προς-ένα, επειδή και το $-2$ και το $2$ αντιστοιχίζονται στο $4$, ενώ και το $-1$ και το $1$ αντιστοιχίζονται στο $1$.

Αυτό είναι το σημείο που πολλοί μαθητές χάνουν: οι επαναλαμβανόμενες έξοδοι δεν καταστρέφουν μια συνάρτηση. Οι επαναλαμβανόμενες είσοδοι με διαφορετικές εξόδους την καταστρέφουν.

Πώς να το καταλάβεις από ένα γράφημα

Αν μια σχέση δίνεται σε γράφημα, ο έλεγχος της κατακόρυφης ευθείας είναι ένας γρήγορος τρόπος ελέγχου. Αν κάποια κατακόρυφη ευθεία τέμνει το γράφημα σε περισσότερα από ένα σημεία, τότε μία τιμή του $x$ έχει περισσότερες από μία τιμές του $y$, άρα το γράφημα δεν παριστάνει συνάρτηση.

Αυτός ο έλεγχος λειτουργεί μόνο επειδή το γράφημα διαβάζεται ως ζεύγη $(x,y)$. Είναι μια οπτική διατύπωση του ίδιου κανόνα: μία είσοδος, μία έξοδος.

Συνηθισμένα λάθη στις σχέσεις και τις συναρτήσεις

Να νομίζεις ότι οι επαναλαμβανόμενες έξοδοι καταστρέφουν μια συνάρτηση

Δεν την καταστρέφουν. Μια συνάρτηση μπορεί να είναι πολλά-προς-ένα. Το πρόβλημα είναι οι επαναλαμβανόμενες είσοδοι με διαφορετικές εξόδους.

Να μπερδεύεις το σύνολο τιμών με το σύνολο άφιξης

Αν το σύνολο άφιξης δίνεται, για παράδειγμα, ως $\{0,1,2,3,4,5\}$, το σύνολο τιμών μπορεί και πάλι να είναι μόνο $\{0,1,4\}$. Σύνολο τιμών σημαίνει οι πραγματικές έξοδοι, όχι όλες οι επιτρεπόμενες έξοδοι.

Να ξεχνάς τους περιορισμούς του πεδίου ορισμού

Ένας τύπος από μόνος του δεν λέει πάντα όλη την ιστορία. Για παράδειγμα, η $f(x)=1/x$ δεν ορίζεται στο $x=0$, άρα το $0$ δεν μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού.

Να υποθέτεις ότι κάθε σχέση είναι συνάρτηση

Οι σχέσεις είναι η πιο γενική έννοια. Οι συναρτήσεις είναι η πιο αυστηρή περίπτωση μέσα σε αυτήν τη γενικότερη κατηγορία.

Πού χρησιμοποιούνται οι σχέσεις και οι συναρτήσεις

Οι σχέσεις είναι χρήσιμες κάθε φορά που θέλεις να περιγράψεις ποια αντικείμενα συνδέονται με ποια άλλα. Αυτό εμφανίζεται στη θεωρία συνόλων, στις βάσεις δεδομένων, στη θεωρία γράφων και στην αναλυτική γεωμετρία.

Οι συναρτήσεις είναι ακόμη πιο κεντρικές. Η άλγεβρα, ο λογισμός, η στατιστική, η φυσική και η επιστήμη υπολογιστών χρησιμοποιούν συναρτήσεις για να περιγράψουν πώς μια ποσότητα εξαρτάται από μια άλλη. Κάθε φορά που βλέπεις έναν κανόνα όπως «βάλε αυτήν την τιμή, πάρε εκείνη την έξοδο», συνήθως έχεις μπροστά σου μια συνάρτηση.

Δοκίμασε μια παρόμοια άσκηση

Φτιάξε μια μικρή σχέση με πεδίο ορισμού το $\{1,2,3\}$. Πρώτα δημιούργησε μία που να μην είναι συνάρτηση, δίνοντας σε μία είσοδο δύο διαφορετικές εξόδους. Έπειτα άλλαξε μόνο ένα ζεύγος ώστε να γίνει συνάρτηση και σύγκρινε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών πριν και μετά. Αυτός είναι ένας από τους πιο γρήγορους τρόπους για να εμπεδώσεις τη διαφορά.