Relations et fonctions — types, domaine et image

Une relation est tout ensemble de couples ordonnés. Une fonction est une relation dans laquelle chaque entrée a exactement une sortie. Pour trouver le domaine, on prend les premières coordonnées. Pour trouver l’image, on prend les sorties qui apparaissent réellement.

C’est l’idée essentielle derrière la plupart des questions sur les relations et les fonctions. Une fois que vous savez vérifier la règle « une entrée, une sortie », il devient beaucoup plus simple de déterminer le domaine, l’image et le type de correspondance.

Relation ou fonction : la différence essentielle

Une relation peut associer les entrées et les sorties de n’importe quelle manière. Par exemple,

$$R = \{(1,2),(1,3),(2,3)\}$$

est une relation, mais ce n’est pas une fonction. L’entrée $1$ est associée à la fois à $2$ et à $3$.

Une fonction suit une seule règle :

$$\text{chaque entrée a exactement une sortie}$$

Des entrées différentes peuvent tout de même avoir la même sortie. C’est autorisé.

Par exemple,

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

est une fonction, car aucune première coordonnée n’est associée à deux deuxièmes coordonnées différentes.

Comment trouver le domaine et l’image

Le domaine est l’ensemble de toutes les entrées, donc il vient des premières coordonnées. L’image est l’ensemble des sorties qui apparaissent réellement, donc elle vient des deuxièmes coordonnées.

En utilisant

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

on obtient

$$\text{domain}(f) = \{1,2,3,4\}$$

et

$$\text{range}(f) = \{2,3,5\}$$

Remarquez que $3$ apparaît deux fois comme sortie, mais dans un ensemble il ne s’écrit qu’une seule fois. L’image liste les sorties distinctes, pas le nombre de fois où elles apparaissent.

Si un exercice donne aussi un codomaine, ne le considérez pas automatiquement comme l’image. Le codomaine est l’ensemble d’arrivée plus large dont les sorties peuvent provenir. L’image est le sous-ensemble effectivement atteint par la fonction.

Types de correspondance : lesquels peuvent être des fonctions

Quand on classe les relations et les fonctions, on parle généralement de l’un de ces schémas :

• Injective : chaque entrée a une sortie, et des entrées différentes donnent des sorties différentes.
• Plusieurs-à-un : des entrées différentes peuvent avoir la même sortie.
• Un-à-plusieurs : une entrée est associée à plus d’une sortie.
• Plusieurs-à-plusieurs : des entrées répétées et des sorties répétées apparaissent toutes deux de manière moins contrainte.

Seuls les deux premiers peuvent être des fonctions. Une relation un-à-plusieurs n’est jamais une fonction, car une même entrée aurait plusieurs sorties.

Exemple détaillé : domaine, image et type dans une même relation

Soit

$$A = \{-2,-1,0,1,2\}$$

et définissons une relation par

$$h = \{(x,x^2) : x \in A\}$$

En écrivant les couples, on obtient

$$h = \{(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\}$$

Vérifions maintenant étape par étape.

Le domaine est l’ensemble de toutes les premières coordonnées :

$$\{-2,-1,0,1,2\}$$

L’image est l’ensemble de toutes les sorties qui apparaissent réellement :

$$\{0,1,4\}$$

Est-ce une fonction ? Oui. Chaque entrée apparaît une seule fois et a exactement une sortie.

De quel type s’agit-il ? C’est une relation plusieurs-à-un, et non injective, car $-2$ et $2$ ont tous deux pour image $4$, et $-1$ et $1$ ont tous deux pour image $1$.

C’est le point que beaucoup d’élèves manquent : des sorties répétées ne rendent pas une relation non fonctionnelle. Ce sont les entrées répétées avec des sorties différentes qui posent problème.

Comment le voir sur un graphique

Si une relation est représentée sur un graphique, le test de la droite verticale permet de vérifier rapidement. Si une droite verticale coupe le graphique en plus d’un point, alors une même valeur de $x$ correspond à plus d’une valeur de $y$, donc le graphique ne représente pas une fonction.

Ce test fonctionne seulement parce que le graphique est lu comme un ensemble de couples $(x,y)$. C’est une reformulation visuelle de la même règle : une entrée, une sortie.

Erreurs fréquentes avec les relations et les fonctions

Penser que des sorties répétées empêchent d’avoir une fonction

Ce n’est pas le cas. Une fonction peut être plusieurs-à-un. Le vrai problème, ce sont les entrées répétées avec des sorties différentes.

Confondre image et codomaine

Si le codomaine est donné, par exemple, par $\{0,1,2,3,4,5\}$, l’image peut quand même n’être que $\{0,1,4\}$. L’image correspond aux sorties réelles, pas à toutes les sorties autorisées.

Oublier les restrictions sur le domaine

Une formule seule ne dit pas toujours tout. Par exemple, $f(x)=1/x$ n’est pas définie en $x=0$, donc $0$ ne peut pas appartenir au domaine.

Supposer que toute relation est une fonction

Les relations sont l’idée la plus générale. Les fonctions sont le cas plus strict à l’intérieur de cette catégorie plus large.

Où les relations et les fonctions sont utilisées

Les relations sont utiles chaque fois que l’on veut décrire quels objets sont liés à quels autres. On les rencontre en théorie des ensembles, dans les bases de données, en théorie des graphes et en géométrie analytique.

Les fonctions sont encore plus centrales. L’algèbre, le calcul, les statistiques, la physique et l’informatique utilisent toutes des fonctions pour décrire comment une grandeur dépend d’une autre. Chaque fois que vous voyez une règle du type « entrer cette valeur, obtenir cette sortie », vous avez généralement affaire à une fonction.

Essayez un exercice similaire

Construisez une petite relation sur le domaine $\{1,2,3\}$. Commencez par en créer une qui ne soit pas une fonction en donnant à une même entrée deux sorties différentes. Puis modifiez un seul couple pour qu’elle devienne une fonction, et comparez le domaine et l’image avant et après. C’est l’un des moyens les plus rapides de bien comprendre la différence.