ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน — ประเภท โดเมน และเรนจ์

ความสัมพันธ์คือเซตใด ๆ ของคู่อันดับ ส่วนฟังก์ชันคือความสัมพันธ์ที่แต่ละอินพุตมีเอาต์พุตได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น ถ้าจะหาโดเมน ให้รวบรวมพิกัดตัวที่หนึ่งทั้งหมด ถ้าจะหาเรนจ์ ให้รวบรวมเอาต์พุตที่ปรากฏจริง

นี่คือแนวคิดหลักของโจทย์เรื่อง "ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน" ส่วนใหญ่ เมื่อคุณตรวจเงื่อนไขหนึ่งอินพุตต่อหนึ่งเอาต์พุตได้แล้ว การหาโดเมน เรนจ์ และประเภทการจับคู่ก็จะง่ายขึ้นมาก

ความสัมพันธ์กับฟังก์ชัน: ความแตกต่างสำคัญ

ความสัมพันธ์สามารถจับคู่อินพุตกับเอาต์พุตได้หลายแบบ ตัวอย่างเช่น

$$R = \{(1,2),(1,3),(2,3)\}$$

เป็นความสัมพันธ์ แต่ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะอินพุต $1$ จับคู่กับทั้ง $2$ และ $3$

ฟังก์ชันมีเงื่อนไขข้อเดียวคือ

$$\text{each input has exactly one output}$$

แต่อินพุตที่ต่างกันสามารถมีเอาต์พุตเดียวกันได้ ซึ่งถือว่าได้

ตัวอย่างเช่น

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

เป็นฟังก์ชัน เพราะไม่มีพิกัดตัวที่หนึ่งตัวใดจับคู่กับพิกัดตัวที่สองที่ต่างกันสองค่า

วิธีหาโดเมนและเรนจ์

โดเมนคือเซตของอินพุตทั้งหมด จึงมาจากพิกัดตัวที่หนึ่ง ส่วนเรนจ์คือเซตของเอาต์พุตที่ปรากฏจริง จึงมาจากพิกัดตัวที่สอง

จาก

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

จะได้ว่า

$$\text{domain}(f) = \{1,2,3,4\}$$

และ

$$\text{range}(f) = \{2,3,5\}$$

สังเกตว่า $3$ ปรากฏเป็นเอาต์พุตสองครั้ง แต่เมื่ออยู่ในเซตก็เขียนเพียงครั้งเดียว เรนจ์แสดงเอาต์พุตที่ไม่ซ้ำกัน ไม่ได้บอกว่าปรากฏกี่ครั้ง

ถ้าโจทย์ให้ codomain มาด้วย อย่าถือว่าเป็นเรนจ์โดยอัตโนมัติ codomain คือเซตเป้าหมายที่ใหญ่กว่าซึ่งเอาต์พุตสามารถมาจากเซตนั้นได้ ส่วนเรนจ์คือสับเซตที่ฟังก์ชันให้ค่าออกมาจริง

ประเภทการจับคู่: แบบใดเป็นฟังก์ชันได้บ้าง

เมื่อมีการจำแนกความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดยทั่วไปจะหมายถึงรูปแบบเหล่านี้

• หนึ่งต่อหนึ่ง: แต่ละอินพุตมีเอาต์พุตหนึ่งค่า และอินพุตที่ต่างกันให้เอาต์พุตต่างกัน
• หลายต่อหนึ่ง: อินพุตที่ต่างกันสามารถมีเอาต์พุตเดียวกันได้
• หนึ่งต่อหลาย: อินพุตหนึ่งค่าจับคู่กับเอาต์พุตมากกว่าหนึ่งค่า
• หลายต่อหลาย: มีทั้งอินพุตซ้ำและเอาต์พุตซ้ำในลักษณะที่ไม่ถูกจำกัดมากนัก

มีเพียงสองแบบแรกเท่านั้นที่เป็นฟังก์ชันได้ ความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหลายไม่มีทางเป็นฟังก์ชัน เพราะอินพุตหนึ่งค่าจะมีหลายเอาต์พุต

ตัวอย่างทำครบ: โดเมน เรนจ์ และประเภทในความสัมพันธ์เดียว

ให้

$$A = \{-2,-1,0,1,2\}$$

และกำหนดความสัมพันธ์เป็น

$$h = \{(x,x^2) : x \in A\}$$

เมื่อเขียนคู่อันดับออกมาจะได้

$$h = \{(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\}$$

ตอนนี้ตรวจทีละขั้น

โดเมนคือพิกัดตัวที่หนึ่งทั้งหมด:

$$\{-2,-1,0,1,2\}$$

เรนจ์คือเอาต์พุตทั้งหมดที่ปรากฏจริง:

$$\{0,1,4\}$$

เป็นฟังก์ชันหรือไม่ คำตอบคือใช่ เพราะแต่ละอินพุตปรากฏหนึ่งครั้งและมีเอาต์พุตเพียงค่าเดียว

แล้วเป็นประเภทใด เป็นแบบหลายต่อหนึ่ง ไม่ใช่หนึ่งต่อหนึ่ง เพราะทั้ง $-2$ และ $2$ ส่งไปที่ $4$ และทั้ง $-1$ และ $1$ ส่งไปที่ $1$

นี่คือจุดที่นักเรียนหลายคนพลาด: เอาต์พุตซ้ำไม่ได้ทำให้ฟังก์ชันผิดเงื่อนไข แต่อินพุตซ้ำที่มีเอาต์พุตต่างกันต่างหากที่ผิด

ดูจากกราฟอย่างไร

ถ้าความสัมพันธ์แสดงด้วยกราฟ การทดสอบเส้นตรงแนวตั้งเป็นวิธีเช็กอย่างรวดเร็ว ถ้ามีเส้นตรงแนวตั้งเส้นใดตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุด แสดงว่ามีค่า $x$ หนึ่งค่าที่มีค่า $y$ มากกว่าหนึ่งค่า ดังนั้นกราฟนั้นไม่แทนฟังก์ชัน

การทดสอบนี้ใช้ได้เพราะเราอ่านกราฟเป็นคู่อันดับ $(x,y)$ นั่นเอง มันเป็นการพูดกฎเดิมในแบบภาพว่า หนึ่งอินพุต หนึ่งเอาต์พุต

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

คิดว่าเอาต์พุตซ้ำทำให้ไม่เป็นฟังก์ชัน

ไม่จริง ฟังก์ชันเป็นแบบหลายต่อหนึ่งได้ ปัญหาที่แท้จริงคืออินพุตซ้ำแต่มีเอาต์พุตต่างกัน

สับสนระหว่างเรนจ์กับ codomain

ถ้า codomain ถูกกำหนดเป็น เช่น $\{0,1,2,3,4,5\}$ เรนจ์ก็อาจยังเป็นเพียง $\{0,1,4\}$ ได้ เรนจ์หมายถึงเอาต์พุตที่เกิดขึ้นจริง ไม่ใช่เอาต์พุตทั้งหมดที่อนุญาต

ลืมข้อจำกัดของโดเมน

สูตรเพียงอย่างเดียวไม่ได้บอกทุกอย่างเสมอไป ตัวอย่างเช่น $f(x)=1/x$ ไม่กำหนดค่าที่ $x=0$ ดังนั้น $0$ จึงอยู่ในโดเมนไม่ได้

คิดว่าความสัมพันธ์ทุกแบบเป็นฟังก์ชัน

ความสัมพันธ์เป็นแนวคิดที่กว้างกว่า ส่วนฟังก์ชันเป็นกรณีที่มีเงื่อนไขเข้มกว่าและอยู่ภายในหมวดนั้น

ความสัมพันธ์และฟังก์ชันถูกใช้ที่ไหน

ความสัมพันธ์มีประโยชน์เมื่อคุณต้องการอธิบายว่าวัตถุใดเชื่อมโยงกับวัตถุใดบ้าง แนวคิดนี้พบได้ในทฤษฎีเซต ฐานข้อมูล ทฤษฎีกราฟ และเรขาคณิตวิเคราะห์

ฟังก์ชันยิ่งสำคัญมากกว่าอีก พีชคณิต แคลคูลัส สถิติ ฟิสิกส์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ต่างใช้ฟังก์ชันเพื่ออธิบายว่าปริมาณหนึ่งขึ้นอยู่กับอีกปริมาณหนึ่งอย่างไร เมื่อใดก็ตามที่คุณเห็นกฎแบบ "ใส่ค่านี้แล้วได้ค่านั้น" โดยมากสิ่งนั้นก็คือฟังก์ชัน

ลองทำโจทย์คล้ายกัน

สร้างความสัมพันธ์เล็ก ๆ จากโดเมน $\{1,2,3\}$ ก่อนอื่นให้สร้างแบบที่ไม่เป็นฟังก์ชัน โดยให้อินพุตหนึ่งค่ามีเอาต์พุตต่างกันสองค่า จากนั้นเปลี่ยนเพียงหนึ่งคู่ให้มันกลายเป็นฟังก์ชัน แล้วเปรียบเทียบโดเมนและเรนจ์ก่อนกับหลัง นี่เป็นวิธีที่เร็วมากวิธีหนึ่งในการทำให้เห็นความแตกต่างได้ชัดเจน