관계와 함수 — 유형, 정의역과 치역

관계는 순서쌍들의 집합입니다. 함수는 각 입력값에 대해 출력값이 정확히 하나씩만 정해지는 관계입니다. 정의역은 첫 번째 좌표들을 모아 구하고, 치역은 실제로 나타나는 출력값들을 모아 구합니다.

이것이 대부분의 "관계와 함수" 문제의 핵심입니다. 입력 하나에 출력 하나라는 규칙, 정의역, 치역, 대응 유형을 확인할 수 있으면 문제를 훨씬 쉽게 정리할 수 있습니다.

관계와 함수: 핵심 차이

관계는 입력값과 출력값을 어떤 방식으로든 짝지을 수 있습니다. 예를 들어,

$$R = \{(1,2),(1,3),(2,3)\}$$

는 관계이지만 함수는 아닙니다. 입력값 $1$이 $2$와 $3$ 두 값에 모두 대응하기 때문입니다.

함수는 다음 규칙을 따릅니다.

$$\text{each input has exactly one output}$$

서로 다른 입력값이 같은 출력값을 가질 수는 있습니다. 그것은 허용됩니다.

예를 들어,

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

는 함수입니다. 어떤 첫 번째 좌표도 서로 다른 두 번째 좌표와 동시에 짝지어지지 않기 때문입니다.

정의역과 치역 구하는 법

정의역은 모든 입력값의 집합이므로 첫 번째 좌표들에서 구합니다. 치역은 실제로 나타나는 출력값들의 집합이므로 두 번째 좌표들에서 구합니다.

다음

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

을 사용하면

$$\text{domain}(f) = \{1,2,3,4\}$$

이고

$$\text{range}(f) = \{2,3,5\}$$

입니다.

출력값으로 $3$이 두 번 나타나지만, 집합에서는 한 번만 씁니다. 치역은 출력값의 종류를 나열하는 것이지, 몇 번 나왔는지를 세는 것이 아닙니다.

문제에서 공역도 함께 주어진다면, 그것을 자동으로 치역이라고 생각하면 안 됩니다. 공역은 출력값이 속할 수 있도록 정해 둔 더 큰 대상 집합입니다. 치역은 그중에서 함수가 실제로 도달하는 부분집합입니다.

대응 유형: 어떤 것이 함수가 될 수 있을까

관계와 함수를 분류할 때는 보통 다음과 같은 유형을 말합니다.

• 일대일: 각 입력값이 하나의 출력값을 가지며, 서로 다른 입력값은 서로 다른 출력값을 가집니다.
• 다대일: 서로 다른 입력값들이 같은 출력값을 가질 수 있습니다.
• 일대다: 하나의 입력값이 둘 이상의 출력값과 대응합니다.
• 다대다: 입력값과 출력값이 모두 더 자유로운 방식으로 반복되어 나타납니다.

앞의 두 경우만 함수가 될 수 있습니다. 일대다 관계는 하나의 입력값이 여러 출력값을 가지므로 절대로 함수가 아닙니다.

예제로 보기: 하나의 관계에서 정의역, 치역, 유형 확인하기

다음과 같이

$$A = \{-2,-1,0,1,2\}$$

이고, 관계를

$$h = \{(x,x^2) : x \in A\}$$

로 정의합시다.

순서쌍을 직접 쓰면

$$h = \{(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\}$$

가 됩니다.

이제 차례대로 확인해 봅시다.

정의역은 모든 첫 번째 좌표이므로

$$\{-2,-1,0,1,2\}$$

입니다.

치역은 실제로 나타나는 모든 출력값이므로

$$\{0,1,4\}$$

입니다.

함수일까요? 네. 각 입력값이 한 번씩만 나타나고, 정확히 하나의 출력값을 가집니다.

어떤 유형일까요? 일대일이 아니라 다대일입니다. $-2$와 $2$가 모두 $4$에 대응하고, $-1$과 $1$이 모두 $1$에 대응하기 때문입니다.

많은 학생이 여기서 놓치는 점이 있습니다. 출력값이 반복된다고 해서 함수가 깨지는 것은 아닙니다. 같은 입력값에 서로 다른 출력값이 대응할 때 함수가 아닙니다.

그래프에서 판별하는 법

관계가 그래프로 주어졌다면 수직선 판별법을 빠르게 사용할 수 있습니다. 어떤 수직선이 그래프와 두 점 이상에서 만나면, 하나의 $x$값에 두 개 이상의 $y$값이 대응한다는 뜻이므로 그 그래프는 함수를 나타내지 않습니다.

이 판별법이 가능한 이유는 그래프를 $(x,y)$의 순서쌍으로 읽기 때문입니다. 즉, 입력 하나에 출력 하나라는 같은 규칙을 시각적으로 다시 표현한 것입니다.

관계와 함수에서 자주 하는 실수

출력값이 반복되면 함수가 아니라고 생각하기

그렇지 않습니다. 함수는 다대일일 수 있습니다. 문제가 되는 것은 같은 입력값에 서로 다른 출력값이 대응하는 경우입니다.

치역과 공역을 혼동하기

예를 들어 공역이 $\{0,1,2,3,4,5\}$로 주어져도, 치역은 여전히 $\{0,1,4\}$일 수 있습니다. 치역은 실제 출력값이지, 가능한 모든 출력값이 아닙니다.

정의역의 제한을 잊기

식만으로는 항상 모든 정보가 드러나지 않습니다. 예를 들어 $f(x)=1/x$는 $x=0$에서 정의되지 않으므로, $0$은 정의역에 들어갈 수 없습니다.

모든 관계가 함수라고 가정하기

관계가 더 넓은 개념입니다. 함수는 그 안에 포함되는 더 엄격한 경우입니다.

관계와 함수는 어디에 쓰일까

관계는 어떤 대상이 다른 어떤 대상과 연결되는지를 나타내고 싶을 때 유용합니다. 이런 생각은 집합론, 데이터베이스, 그래프 이론, 좌표기하에서 자주 등장합니다.

함수는 그보다 더 핵심적인 개념입니다. 대수학, 미적분, 통계학, 물리학, 컴퓨터 과학에서는 모두 한 양이 다른 양에 어떻게 의존하는지를 함수로 설명합니다. "이 값을 넣으면 저 값이 나온다"라는 규칙을 볼 때, 대부분 그것은 함수입니다.

비슷한 문제를 직접 해보기

정의역이 $\{1,2,3\}$인 작은 관계를 하나 만들어 보세요. 먼저 하나의 입력값에 서로 다른 두 출력값을 주어 함수가 아닌 관계를 만드세요. 그다음 순서쌍 하나만 바꿔서 함수가 되게 해 보고, 바꾸기 전후의 정의역과 치역을 비교해 보세요. 이 차이를 확실히 익히는 가장 빠른 방법 중 하나입니다.