Relasi dan Fungsi — Jenis, Domain & Range

Relasi adalah sembarang himpunan pasangan berurutan. Fungsi adalah relasi yang setiap inputnya memiliki tepat satu output. Untuk menentukan domain, kumpulkan koordinat pertama. Untuk menentukan range, kumpulkan output yang benar-benar muncul.

Itulah gagasan inti di balik sebagian besar soal "relasi dan fungsi". Setelah kamu bisa memeriksa aturan satu-input-satu-output, domain, range, dan jenis pemetaan akan jauh lebih mudah dibedakan.

Relasi vs. fungsi: perbedaan utamanya

Relasi dapat memasangkan input dan output dengan cara apa pun. Misalnya,

$$R = \{(1,2),(1,3),(2,3)\}$$

adalah sebuah relasi, tetapi bukan fungsi. Input $1$ dipasangkan dengan $2$ dan $3$.

Fungsi mengikuti satu aturan:

$$\text{each input has exactly one output}$$

Input yang berbeda tetap boleh memiliki output yang sama. Itu diperbolehkan.

Misalnya,

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

adalah fungsi karena tidak ada koordinat pertama yang dipasangkan dengan dua koordinat kedua yang berbeda.

Cara menentukan domain dan range

Domain adalah himpunan semua input, jadi diambil dari koordinat pertama. Range adalah himpunan output yang benar-benar muncul, jadi diambil dari koordinat kedua.

Dengan menggunakan

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

kita peroleh

$$\text{domain}(f) = \{1,2,3,4\}$$

dan

$$\text{range}(f) = \{2,3,5\}$$

Perhatikan bahwa $3$ muncul dua kali sebagai output, tetapi dalam himpunan tetap ditulis satu kali. Range mencantumkan output yang berbeda, bukan berapa kali output itu muncul.

Jika pada soal juga diberikan kodomain, jangan langsung menganggapnya sebagai range. Kodomain adalah himpunan target yang lebih besar tempat output boleh berasal. Range adalah subset yang benar-benar dicapai oleh fungsi.

Jenis pemetaan: mana yang bisa menjadi fungsi

Saat orang mengklasifikasikan relasi dan fungsi, biasanya yang dimaksud adalah salah satu pola berikut:

• Satu-ke-satu: setiap input memiliki satu output, dan input yang berbeda menghasilkan output yang berbeda.
• Banyak-ke-satu: input yang berbeda dapat memiliki output yang sama.
• Satu-ke-banyak: satu input dipasangkan dengan lebih dari satu output.
• Banyak-ke-banyak: input berulang dan output berulang sama-sama muncul dengan cara yang kurang terbatas.

Hanya dua yang pertama yang bisa menjadi fungsi. Relasi satu-ke-banyak tidak pernah menjadi fungsi, karena satu input akan memiliki beberapa output.

Contoh soal: domain, range, dan jenis dalam satu relasi

Misalkan

$$A = \{-2,-1,0,1,2\}$$

dan didefinisikan suatu relasi dengan

$$h = \{(x,x^2) : x \in A\}$$

Jika pasangan-pasangannya dituliskan, diperoleh

$$h = \{(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\}$$

Sekarang periksa langkah demi langkah.

Domain-nya adalah semua koordinat pertama:

$$\{-2,-1,0,1,2\}$$

Range-nya adalah semua output yang benar-benar muncul:

$$\{0,1,4\}$$

Apakah ini fungsi? Ya. Setiap input muncul satu kali dan memiliki tepat satu output.

Jenisnya apa? Ini adalah banyak-ke-satu, bukan satu-ke-satu, karena $-2$ dan $2$ sama-sama dipetakan ke $4$, dan $-1$ serta $1$ sama-sama dipetakan ke $1$.

Inilah bagian yang sering terlewat oleh banyak siswa: output yang berulang tidak membuat suatu relasi gagal menjadi fungsi. Yang membuatnya gagal adalah input yang berulang dengan output yang berbeda.

Cara mengenalinya dari grafik

Jika suatu relasi ditunjukkan pada grafik, uji garis vertikal adalah cara cepat untuk memeriksanya. Jika ada garis vertikal yang memotong grafik di lebih dari satu titik, berarti ada satu nilai $x$ yang memiliki lebih dari satu nilai $y$, sehingga grafik tersebut tidak merepresentasikan fungsi.

Uji ini hanya bekerja karena grafik dibaca sebagai pasangan $(x,y)$. Ini adalah bentuk visual dari aturan yang sama: satu input, satu output.

Kesalahan umum pada relasi dan fungsi

Mengira output yang berulang membuat fungsi gagal

Tidak. Fungsi bisa bersifat banyak-ke-satu. Masalahnya adalah input yang berulang dengan output yang berbeda.

Tertukar antara range dan kodomain

Jika kodomain diberikan, misalnya, $\{0,1,2,3,4,5\}$, range-nya bisa saja tetap hanya $\{0,1,4\}$. Range berarti output yang benar-benar muncul, bukan semua output yang diperbolehkan.

Lupa pada pembatasan domain

Sebuah rumus saja tidak selalu menceritakan keseluruhan. Misalnya, $f(x)=1/x$ tidak terdefinisi saat $x=0$, jadi $0$ tidak bisa masuk ke dalam domain.

Menganggap setiap relasi adalah fungsi

Relasi adalah gagasan yang lebih umum. Fungsi adalah kasus yang lebih ketat di dalam kategori yang lebih luas itu.

Di mana relasi dan fungsi digunakan

Relasi berguna setiap kali kamu ingin menjelaskan objek mana yang terhubung dengan objek lainnya. Ini muncul dalam teori himpunan, basis data, teori graf, dan geometri koordinat.

Fungsi bahkan lebih penting lagi. Aljabar, kalkulus, statistika, fisika, dan ilmu komputer semuanya menggunakan fungsi untuk menjelaskan bagaimana satu besaran bergantung pada besaran lain. Setiap kali kamu melihat aturan seperti "masukkan nilai ini, dapatkan output itu", biasanya kamu sedang melihat sebuah fungsi.

Coba soal serupa

Buatlah sebuah relasi kecil dengan domain $\{1,2,3\}$. Pertama, buat relasi yang bukan fungsi dengan memberi satu input dua output yang berbeda. Lalu ubah hanya satu pasangan agar relasi itu menjadi fungsi, dan bandingkan domain serta range sebelum dan sesudahnya. Itu adalah salah satu cara tercepat untuk benar-benar memahami perbedaannya.