集合论——定义、运算与维恩图

集合论研究的是称为“集合”的对象集合。对大多数学校阶段的题目来说，核心概念包括元素、子集、并集、交集、差集，以及相对于某个全集定义的补集。

如果这听起来有点抽象，可以把它想成把对象分到不同组里，并追踪这些组在哪里重叠。这也正是为什么集合论和维恩图会出现在计数、逻辑和概率中。

集合论的定义：元素、属于关系与子集

如果 $A = \{2,4,6,8\}$ ，那么数字 $4$ 是 $A$ 的一个元素，记作 $4 \in A$ 。数字 $5$ 不是 $A$ 的元素，记作 $5 \notin A$ 。

子集是指其中所有元素都属于另一个集合的集合。如果 $B = \{2,4\}$ ，那么 $B \subseteq A$ ，因为 $B$ 的每个元素也都在 $A$ 中。

集合是否相等看的是内容，而不是顺序。集合 $\{1,2,3\}$ 和 $\{3,2,1\}$ 是相等的，因为它们包含相同的元素。

对于两个集合 $A$ 和 $B$ ，最常见的运算有：

最后这个条件很重要。补集不是绝对不变的。如果全集改变了，补集也可能随之改变。

维恩图是用图形表示集合的方法，通常是在表示全集的矩形中画若干个圆。重叠部分表示交集，两个圆覆盖的总区域表示并集。

这一点很重要，因为很多错误都来自把下面三个不同区域混淆了：

如果你先把这些区域分清楚，所需的运算通常就很明显了。

设

A = \{1,2,3,4\}, \qquad B = \{3,4,5,6\}

并且全集为

U = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}

先看重叠部分。两个集合中都出现的元素是 $3$ 和 $4$ ，所以

A \cap B = \{3,4\}

接着收集出现在任一集合中的所有元素：

A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}

现在从 $A$ 中去掉那些也出现在 $B$ 中的元素，得到

A \setminus B = \{1,2\}

求 $A$ 的补集时，在全集中找出所有不属于 $A$ 的元素：

A^c = \{5,6,7,8\}

在维恩图中， $3$ 和 $4$ 会放在重叠区域， $1$ 和 $2$ 只放在 $A$ 的圆内， $5$ 和 $6$ 只放在 $B$ 的圆内，而 $7$ 和 $8$ 会留在两个圆外，但仍在表示 $U$ 的矩形内。

下面这些语言提示通常能帮助你判断该用哪种运算：

很多时候，在真正计算之前，这些提示就足以帮你选对运算。

把并集和交集混淆。 并集是属于任一集合的所有元素，交集只是重叠部分。如果题目问的是两个组共同拥有的内容，那么并集就太宽泛了。

求补集时忘记全集。 如果写出 $A^c$ 却没有说明 $U$ ，那么这个表达的含义就是不完整的，因为补集取决于你所讨论的完整范围。

混淆元素符号和子集符号。 说 $3 \in A$ ，讨论的是一个元素。说 $\{3\} \subseteq A$ ，讨论的是一个包含该元素的集合。两者有关联，但不是同一个命题。

对重叠元素重复计数。 当两个集合有重叠时，直接把它们的元素个数相加，会把重叠部分算两次。这时有

|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

这条规则也是维恩图在计数和概率问题中特别有用的原因之一。

集合论出现在概率、逻辑、数据库以及几乎所有高等数学分支中。在学校阶段的题目里，当你需要整理类别、追踪重叠部分，或仔细统计结果时，它尤其有用。

如果一道概率题问的是参加体育活动的学生、某人会说的语言，或者具有共同性质的结果，那么用集合图来表示，往往是得到答案最快的方法。

任选两个较小的集合，例如全集 $U = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ 中 $2$ 的倍数和 $3$ 的倍数。求它们的并集、交集、差集和补集，然后画出维恩图，并检查每个数字是否落在正确的区域中。

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