Relações e Funções — Tipos, Domínio e Imagem

Uma relação é qualquer conjunto de pares ordenados. Uma função é uma relação em que cada entrada tem exatamente uma saída. Para encontrar o domínio, reúna as primeiras coordenadas. Para encontrar a imagem, reúna as saídas que realmente aparecem.

Essa é a ideia central por trás da maioria das questões sobre "relações e funções". Quando você consegue verificar a regra de uma entrada para uma saída, domínio, imagem e tipo de correspondência ficam muito mais fáceis de identificar.

Relação vs. função: a diferença principal

Uma relação pode associar entradas e saídas de qualquer maneira. Por exemplo,

$$R = \{(1,2),(1,3),(2,3)\}$$

é uma relação, mas não é uma função. A entrada $1$ está associada tanto a $2$ quanto a $3$.

Uma função segue uma regra:

$$\text{cada entrada tem exatamente uma saída}$$

Entradas diferentes ainda podem ter a mesma saída. Isso é permitido.

Por exemplo,

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

é uma função porque nenhuma primeira coordenada está associada a duas segundas coordenadas diferentes.

Como encontrar domínio e imagem

O domínio é o conjunto de todas as entradas, então ele vem das primeiras coordenadas. A imagem é o conjunto das saídas que realmente aparecem, então ela vem das segundas coordenadas.

Usando

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

obtemos

$$\text{domain}(f) = \{1,2,3,4\}$$

e

$$\text{range}(f) = \{2,3,5\}$$

Observe que $3$ aparece duas vezes como saída, mas em um conjunto ele continua sendo escrito uma única vez. A imagem lista saídas distintas, não quantas vezes elas aparecem.

Se um problema também fornecer um contradomínio, não o trate automaticamente como a imagem. O contradomínio é o conjunto-alvo maior de onde as saídas podem vir. A imagem é o subconjunto que a função realmente atinge.

Tipos de correspondência: quais podem ser funções

Quando as pessoas classificam relações e funções, normalmente se referem a um destes padrões:

• Um-para-um: cada entrada tem uma saída, e entradas diferentes produzem saídas diferentes.
• Muitos-para-um: entradas diferentes podem ter a mesma saída.
• Um-para-muitos: uma entrada está associada a mais de uma saída.
• Muitos-para-muitos: entradas repetidas e saídas repetidas aparecem de forma menos restrita.

Somente os dois primeiros podem ser funções. Uma relação um-para-muitos nunca é função, porque uma entrada teria várias saídas.

Exemplo resolvido: domínio, imagem e tipo em uma relação

Seja

$$A = \{-2,-1,0,1,2\}$$

e defina uma relação por

$$h = \{(x,x^2) : x \in A\}$$

Escrevendo os pares, temos

$$h = \{(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\}$$

Agora verifique passo a passo.

O domínio é o conjunto de todas as primeiras coordenadas:

$$\{-2,-1,0,1,2\}$$

A imagem é o conjunto de todas as saídas que realmente aparecem:

$$\{0,1,4\}$$

É uma função? Sim. Cada entrada aparece uma vez e tem exatamente uma saída.

Qual é o tipo? É muitos-para-um, e não um-para-um, porque tanto $-2$ quanto $2$ vão para $4$, e tanto $-1$ quanto $1$ vão para $1$.

Esse é o ponto que muitos estudantes deixam passar: saídas repetidas não fazem uma função deixar de ser função. Entradas repetidas com saídas diferentes, sim.

Como identificar pelo gráfico

Se uma relação for mostrada em um gráfico, o teste da reta vertical é uma verificação rápida. Se alguma reta vertical intersectar o gráfico em mais de um ponto, então um valor de $x$ tem mais de um valor de $y$, e o gráfico não representa uma função.

Esse teste só funciona porque o gráfico está sendo lido como pares $(x,y)$. Ele é uma reformulação visual da mesma regra: uma entrada, uma saída.

Erros comuns com relações e funções

Achar que saídas repetidas impedem uma função

Não impedem. Uma função pode ser muitos-para-um. O problema são entradas repetidas com saídas diferentes.

Confundir imagem com contradomínio

Se o contradomínio for dado como, por exemplo, $\{0,1,2,3,4,5\}$, a imagem ainda pode ser apenas $\{0,1,4\}$. Imagem significa saídas reais, não todas as saídas permitidas.

Esquecer restrições do domínio

Uma fórmula sozinha nem sempre conta toda a história. Por exemplo, $f(x)=1/x$ não está definida em $x=0$, então $0$ não pode pertencer ao domínio.

Supor que toda relação é uma função

Relações são a ideia mais ampla. Funções são o caso mais restrito dentro dessa categoria maior.

Onde relações e funções são usadas

Relações são úteis sempre que você quer descrever quais objetos estão conectados a quais outros. Isso aparece em teoria dos conjuntos, bancos de dados, teoria dos grafos e geometria analítica.

Funções são ainda mais centrais. Álgebra, cálculo, estatística, física e ciência da computação usam funções para descrever como uma grandeza depende de outra. Sempre que você vê uma regra como "coloque este valor na entrada e obtenha aquela saída", normalmente está diante de uma função.

Tente um problema parecido

Monte uma pequena relação usando o domínio $\{1,2,3\}$. Primeiro, crie uma que não seja função, dando a uma entrada duas saídas diferentes. Depois, altere apenas um par para que ela se torne uma função e compare o domínio e a imagem antes e depois. Essa é uma das formas mais rápidas de fixar a diferença.