Relationen und Funktionen — Typen, Definitionsmenge & Wertemenge

Eine Relation ist jede Menge geordneter Paare. Eine Funktion ist eine Relation, bei der jeder Eingabewert genau einen Ausgabewert hat. Um die Definitionsmenge zu finden, sammelt man die ersten Koordinaten. Um die Wertemenge zu finden, sammelt man die Ausgabewerte, die tatsächlich vorkommen.

Das ist die Grundidee hinter den meisten Aufgaben zu „Relationen und Funktionen“. Sobald du die Regel „ein Eingabewert, ein Ausgabewert“, die Definitionsmenge, die Wertemenge und den Zuordnungstyp prüfen kannst, werden solche Aufgaben viel übersichtlicher.

Relation vs. Funktion: der wichtigste Unterschied

Eine Relation kann Eingabewerte und Ausgabewerte auf beliebige Weise verknüpfen. Zum Beispiel ist

$$R = \{(1,2),(1,3),(2,3)\}$$

eine Relation, aber keine Funktion. Der Eingabewert $1$ ist sowohl mit $2$ als auch mit $3$ verknüpft.

Eine Funktion folgt einer Regel:

$$\text{jeder Eingabewert hat genau einen Ausgabewert}$$

Verschiedene Eingabewerte dürfen trotzdem denselben Ausgabewert haben. Das ist erlaubt.

Zum Beispiel ist

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

eine Funktion, weil keine erste Koordinate mit zwei verschiedenen zweiten Koordinaten verknüpft ist.

So bestimmt man Definitionsmenge und Wertemenge

Die Definitionsmenge ist die Menge aller Eingabewerte, also stammt sie aus den ersten Koordinaten. Die Wertemenge ist die Menge der Ausgabewerte, die tatsächlich vorkommen, also stammt sie aus den zweiten Koordinaten.

Mit

$$f = \{(1,2),(2,3),(3,3),(4,5)\}$$

erhält man

$$\text{domain}(f) = \{1,2,3,4\}$$

und

$$\text{range}(f) = \{2,3,5\}$$

Beachte, dass $3$ zweimal als Ausgabewert vorkommt, in einer Menge aber trotzdem nur einmal geschrieben wird. Die Wertemenge enthält verschiedene Ausgabewerte, nicht ihre Häufigkeit.

Wenn in einer Aufgabe zusätzlich eine Zielmenge gegeben ist, solltest du sie nicht automatisch mit der Wertemenge gleichsetzen. Die Zielmenge ist die größere Menge möglicher Ausgabewerte. Die Wertemenge ist die Teilmenge, die von der Funktion tatsächlich getroffen wird.

Zuordnungstypen: Welche können Funktionen sein?

Wenn Relationen und Funktionen klassifiziert werden, sind meist diese Muster gemeint:

• Eineindeutig: Jeder Eingabewert hat genau einen Ausgabewert, und verschiedene Eingabewerte liefern verschiedene Ausgabewerte.
• Vieleindeutig: Verschiedene Eingabewerte können denselben Ausgabewert haben.
• Ein-zu-viele: Ein Eingabewert ist mit mehr als einem Ausgabewert verknüpft.
• Viele-zu-viele: Wiederholte Eingabewerte und wiederholte Ausgabewerte treten beide in weniger eingeschränkter Form auf.

Nur die ersten beiden können Funktionen sein. Eine Ein-zu-viele-Relation ist nie eine Funktion, weil ein Eingabewert dann mehrere Ausgabewerte hätte.

Durchgerechnetes Beispiel: Definitionsmenge, Wertemenge und Typ in einer Relation

Sei

$$A = \{-2,-1,0,1,2\}$$

und definiere eine Relation durch

$$h = \{(x,x^2) : x \in A\}$$

Ausgeschrieben ergibt das

$$h = \{(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\}$$

Prüfen wir das nun Schritt für Schritt.

Die Definitionsmenge besteht aus allen ersten Koordinaten:

$$\{-2,-1,0,1,2\}$$

Die Wertemenge besteht aus allen Ausgabewerten, die tatsächlich vorkommen:

$$\{0,1,4\}$$

Ist das eine Funktion? Ja. Jeder Eingabewert kommt genau einmal vor und hat genau einen Ausgabewert.

Welcher Typ ist es? Es ist vieleindeutig, nicht eineindeutig, weil sowohl $-2$ als auch $2$ auf $4$ abgebildet werden und sowohl $-1$ als auch $1$ auf $1$.

Genau das übersehen viele Schülerinnen und Schüler: Wiederholte Ausgabewerte machen eine Funktion nicht kaputt. Wiederholte Eingabewerte mit verschiedenen Ausgabewerten dagegen schon.

So erkennt man es im Graphen

Wenn eine Relation als Graph dargestellt ist, ist der Vertikallinientest eine schnelle Prüfung. Schneidet irgendeine vertikale Linie den Graphen in mehr als einem Punkt, dann gehört zu einem $x$-Wert mehr als ein $y$-Wert, und der Graph stellt keine Funktion dar.

Dieser Test funktioniert nur, weil der Graph als Paare $(x,y)$ gelesen wird. Er ist eine anschauliche Formulierung derselben Regel: ein Eingabewert, ein Ausgabewert.

Häufige Fehler bei Relationen und Funktionen

Zu glauben, dass wiederholte Ausgabewerte eine Funktion zerstören

Das tun sie nicht. Eine Funktion kann vieleindeutig sein. Das Problem sind wiederholte Eingabewerte mit verschiedenen Ausgabewerten.

Wertemenge und Zielmenge zu verwechseln

Wenn die Zielmenge zum Beispiel als $\{0,1,2,3,4,5\}$ gegeben ist, kann die Wertemenge trotzdem nur $\{0,1,4\}$ sein. Wertemenge bedeutet tatsächliche Ausgabewerte, nicht alle erlaubten Ausgabewerte.

Einschränkungen der Definitionsmenge zu vergessen

Eine Formel allein sagt nicht immer alles. Zum Beispiel ist $f(x)=1/x$ bei $x=0$ nicht definiert, also kann $0$ nicht zur Definitionsmenge gehören.

Anzunehmen, dass jede Relation eine Funktion ist

Relationen sind der allgemeinere Begriff. Funktionen sind der strengere Spezialfall innerhalb dieser größeren Kategorie.

Wo Relationen und Funktionen verwendet werden

Relationen sind nützlich, wenn man beschreiben will, welche Objekte mit welchen anderen verbunden sind. Das begegnet dir in der Mengenlehre, in Datenbanken, in der Graphentheorie und in der analytischen Geometrie.

Funktionen sind noch grundlegender. Algebra, Analysis, Statistik, Physik und Informatik verwenden Funktionen, um zu beschreiben, wie eine Größe von einer anderen abhängt. Immer wenn du eine Regel siehst wie „diesen Wert einsetzen, jenen Wert erhalten“, geht es meistens um eine Funktion.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Erstelle eine kleine Relation mit der Definitionsmenge $\{1,2,3\}$. Baue zuerst eine Relation, die keine Funktion ist, indem du einem Eingabewert zwei verschiedene Ausgabewerte gibst. Ändere dann nur ein Paar, sodass daraus eine Funktion wird, und vergleiche Definitionsmenge und Wertemenge davor und danach. Das ist eine der schnellsten Methoden, um den Unterschied wirklich zu verstehen.