Chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin

Sự khác nhau giữa chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin gói gọn trong một ý: chuỗi Maclaurin là chuỗi Taylor có tâm tại $0$. Nếu tâm là $a = 0$ thì đó là chuỗi Maclaurin. Nếu tâm là bất kỳ giá trị nào khác, thì đó là chuỗi Taylor.

Nghe có vẻ chỉ là khác nhau về tên gọi, nhưng tâm khai triển rất quan trọng vì một chuỗi thường hữu ích nhất gần điểm mà nó được xây dựng quanh đó.

Sự khác nhau trong một công thức

Nếu một hàm có đủ đạo hàm tại $a$, thì chuỗi Taylor của nó quanh $a$ là

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

Đặt $a = 0$, ta được chuỗi Maclaurin:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

Vì vậy, cấu trúc không thay đổi. Chỉ có tâm khai triển thay đổi.

Vì sao tâm khai triển quan trọng

Các hệ số được lấy từ các đạo hàm tính tại tâm. Thay đổi tâm, thì các con số trong chuỗi thường cũng thay đổi theo.

Chuỗi Maclaurin được xây dựng để mô tả hàm số gần $x = 0$. Chuỗi Taylor quanh $a = 2$ được xây dựng để mô tả cùng hàm số đó gần $x = 2$. Cả hai đều có thể đúng, nhưng một trong hai có thể thực tế hơn nhiều cho giá trị mà bạn quan tâm.

Bạn cũng nên tránh khẳng định mạnh hơn những gì bài toán cho phép. Chuỗi Taylor hay Maclaurin luôn được thiết kế như một khai triển cục bộ. Việc nó có thực sự bằng hàm số trên một khoảng hay không còn phụ thuộc vào hàm số và nơi chuỗi hội tụ.

Ví dụ minh họa: $e^x$ tại hai tâm khác nhau

Xét

$$f(x) = e^x$$

Đây là một ví dụ tốt để so sánh vì mọi đạo hàm của $e^x$ vẫn là $e^x$.

Chuỗi Maclaurin tại $a = 0$

Tại $a = 0$, mọi giá trị đạo hàm đều là $f^{(n)}(0) = 1$, nên

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

Vài hạng đầu là

$$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

Chuỗi Taylor tại $a = 1$

Bây giờ lấy cùng hàm số đó với tâm tại $a = 1$. Khi đó mọi giá trị đạo hàm tại tâm đều là $f^{(n)}(1) = e$, nên

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{e}{n!}(x-1)^n$$

Vài hạng đầu là

$$e + e(x-1) + \frac{e}{2!}(x-1)^2 + \cdots$$

Hàm số vẫn giữ nguyên. Chỉ có tâm khai triển thay đổi. Đó chính là toàn bộ sự khác nhau giữa chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin trong một ví dụ.

Khi nào dùng Maclaurin hoặc Taylor

Dùng chuỗi Maclaurin khi $0$ là điểm mốc tự nhiên hoặc khi các đạo hàm tại $0$ dễ tính.

Dùng chuỗi Taylor quanh một giá trị khác $a$ khi bạn cần một phép xấp xỉ cục bộ tốt gần giá trị đó. Ví dụ, nếu bạn muốn ước lượng hành vi gần $x = 3$, thì khai triển quanh $a = 3$ thường tốt hơn khai triển quanh $0$.

Những lỗi thường gặp của học sinh

Xem chúng như hai ý tưởng khác nhau

Chúng không phải là hai lý thuyết khác nhau. Maclaurin chỉ là một trường hợp đặc biệt của Taylor.

Bỏ qua tâm khai triển

Hai chuỗi của cùng một hàm số đều có thể hợp lệ, nhưng chuỗi có tâm gần giá trị mục tiêu của bạn thường là phép xấp xỉ hữu ích hơn.

Cho rằng chuỗi luôn bằng hàm số

Điều đó không tự động đúng. Câu trả lời phụ thuộc vào hàm số và khoảng xét. Cách phát biểu an toàn là chuỗi cho một khai triển cục bộ quanh tâm của nó, rồi sau đó kiểm tra hội tụ nếu bài toán yêu cầu thêm.

Bạn sẽ gặp điều này ở đâu trong giải tích

Chuỗi Taylor và Maclaurin xuất hiện khi bạn xấp xỉ hàm số, nghiên cứu tính chất cục bộ, giải phương trình vi phân, hoặc thay một biểu thức phức tạp bằng một đa thức dễ làm việc hơn.

Câu hỏi lặp đi lặp lại rất đơn giản: điểm nào làm cho mô hình cục bộ hữu ích nhất?

Thử một bài tương tự

Hãy viết chuỗi của $\sin x$ hai lần: một lần tại $a = 0$ và một lần tại $a = \pi/4$. So sánh hai khai triển đó là một trong những cách nhanh nhất để ghi nhớ sự khác nhau.