Đồ thị đường thẳng: $y = mx + c$ và các đường thẳng song song

Đồ thị đường thẳng biểu diễn các mối quan hệ tuyến tính, trong đó tốc độ thay đổi luôn không đổi. Trong dạng quen thuộc $y = mx + c$, $m$ cho biết hệ số góc và $c$ cho biết tung độ gốc, nên bạn có thể nhanh chóng thấy đường thẳng biến thiên thế nào và liệu hai đường có song song hay không.

$y = mx + c$ cho bạn biết điều gì

Trong phương trình

$$y = mx + c$$

$m$ là hệ số góc, còn gọi là độ dốc. Nó đo mức thay đổi của $y$ khi $x$ tăng thêm $1$.

$c$ là tung độ gốc. Đây là giá trị của $y$ khi $x = 0$, nên đường thẳng cắt trục $y$ tại $(0, c)$.

Dạng này mô tả các đường thẳng không thẳng đứng. Đường thẳng đứng cũng là đường thẳng, nhưng chúng có phương trình như $x = 4$, nên không thể viết dưới dạng $y = mx + c$.

Hệ số góc làm thay đổi đồ thị như thế nào

Nếu $m$ dương, đường thẳng đi lên từ trái sang phải. Nếu $m$ âm, đường thẳng đi xuống từ trái sang phải. Nếu $m = 0$, đường thẳng nằm ngang.

Ví dụ, nếu

$$y = 3x + 2$$

thì mỗi khi $x$ tăng thêm $1$, $y$ tăng thêm $3$. Đường thẳng cắt trục $y$ tại $(0, 2)$, nên nó bắt đầu ở vị trí cao hơn gốc tọa độ $2$ đơn vị.

Ví dụ có lời giải: Vẽ đồ thị $y = 2x + 1$

Xét đường thẳng

$$y = 2x + 1$$

Bắt đầu với tung độ gốc. Khi $x = 0$, $y = 1$, nên đường thẳng đi qua điểm $(0, 1)$.

Bây giờ dùng hệ số góc. Vì $m = 2$, khi di chuyển sang phải $1$ đơn vị thì $y$ tăng thêm $2$. Ta được điểm thứ hai là $(1, 3)$.

Bạn có thể kiểm tra thêm một điểm theo cách tương tự:

$$x = 2 \Rightarrow y = 2(2) + 1 = 5$$

Vậy $(2, 5)$ nằm trên cùng đường thẳng đó. Khi đã có hai điểm đúng, bạn có thể kẻ đường thẳng đi qua chúng.

Cách nhận biết hai đường thẳng có song song hay không

Hai đường thẳng không thẳng đứng song song khi chúng có cùng hệ số góc và khác tung độ gốc.

Ví dụ,

$$y = 2x + 1$$

và

$$y = 2x - 3$$

là song song vì cả hai đều có hệ số góc bằng $2$. Chúng tăng với cùng tốc độ nên sẽ không bao giờ cắt nhau. Tung độ gốc của chúng khác nhau, nên đây là hai đường thẳng phân biệt chứ không phải cùng một đường.

Ý tưởng này cũng có phiên bản dành cho đường thẳng đứng. Các đường như $x = 1$ và $x = 5$ song song với nhau.

Những lỗi thường gặp với đồ thị đường thẳng

Nhầm $c$ với hoành độ gốc

Trong $y = mx + c$, số $c$ là tung độ gốc, không phải hoành độ gốc. Nó cho biết đường thẳng cắt trục $y$ ở đâu.

Cho rằng cùng hệ số góc thì luôn là hai đường song song khác nhau

Nếu hai phương trình có cùng hệ số góc và cùng tung độ gốc, thì chúng là cùng một đường thẳng. Để là hai đường thẳng không thẳng đứng song song và phân biệt, hệ số góc phải giống nhau còn tung độ gốc phải khác nhau.

Quên mất đường thẳng đứng

$y = mx + c$ không biểu diễn các đường thẳng đứng. Nếu đồ thị là một đường thẳng đứng, phương trình của nó có dạng $x = a$.

Đồ thị đường thẳng được dùng ở đâu

Đồ thị đường thẳng xuất hiện khi một đại lượng thay đổi với tốc độ không đổi theo một đại lượng khác. Những ví dụ quen thuộc gồm mô hình giá cố định cộng chi phí cho mỗi món, quãng đường đi được với vận tốc không đổi và các phép đổi đơn vị được viết dưới dạng tuyến tính.

Chúng quan trọng vì kết nối đại số với đồ thị một cách trực tiếp: phương trình cho bạn biết quy luật, còn đồ thị giúp bạn nhìn thấy quy luật đó.

Thử một bài tương tự

Hãy viết hai phương trình có cùng hệ số góc, chẳng hạn $y = -x + 4$ và $y = -x - 1$. Hãy vẽ tung độ gốc trước, rồi dùng hệ số góc để tìm điểm thứ hai cho mỗi đường thẳng. Bạn sẽ thấy rằng các hệ số góc bằng nhau tạo ra các đường thẳng song song.

Nếu muốn khám phá một trường hợp khác, hãy thử một ví dụ của riêng bạn từ bài tập và kiểm tra xem đồ thị, hệ số góc và tung độ gốc có khớp với nhau hay không.