Hàm số mũ — Tăng trưởng, suy giảm và đồ thị

Hàm số mũ mô tả quá trình nhân lặp lại. Trong dạng chuẩn $f(x) = a b^x$, biến nằm ở số mũ, $a$ là giá trị ban đầu, và $b$ là hệ số không đổi được áp dụng mỗi khi $x$ tăng thêm $1$.

Nếu $b > 1$, hàm số biểu thị tăng trưởng. Nếu $0 < b < 1$, hàm số biểu thị suy giảm. Đây là ý chính quan trọng nhất mà đa số học sinh cần nắm trước.

$$f(x) = a b^x$$

Với hàm số mũ nhận giá trị thực, các điều kiện thường dùng là $b > 0$ và $b \ne 1$.

Định nghĩa hàm số mũ

Cách kiểm tra quan trọng rất đơn giản: biến đầu vào, thường là $x$, phải nằm ở số mũ. Chính điều đó làm cho mối quan hệ này là quan hệ nhân chứ không phải quan hệ cộng.

Vì vậy $f(x) = 3 \cdot 2^x$ là hàm số mũ, còn $f(x) = 3x^2$ thì không. Trong $3x^2$, biến là cơ số chứ không phải số mũ.

Điều này làm thay đổi hoàn toàn quy luật. Hàm đa thức tăng theo các lũy thừa của $x$. Hàm số mũ tăng hoặc giảm theo cùng một hệ số mỗi khi $x$ tăng thêm $1$.

Tăng trưởng và suy giảm trong hàm số mũ

Trong

$$f(x) = a b^x$$

cơ số $b$ quyết định dạng biến thiên:

• Nếu $b > 1$, mỗi bước sang phải sẽ nhân giá trị đầu ra với một số lớn hơn $1$, nên đồ thị tăng.
• Nếu $0 < b < 1$, mỗi bước sang phải sẽ nhân giá trị đầu ra với một phân số, nên đồ thị suy giảm.

Ví dụ, $2^x$ tăng vì mỗi bước đều nhân với $2$. Nhưng $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ suy giảm vì mỗi bước đều nhân với $\frac{1}{2}$.

Đồ thị hàm số mũ có đặc điểm gì

Đồ thị của một hàm số mũ cơ bản là một đường cong trơn, không phải các điểm rời rạc. Có vài đặc điểm đáng chú ý nên nhận ra sớm:

1. Nó cắt đường thẳng $x = 0$ tại $f(0) = a$, vì $b^0 = 1$.
2. Với dạng cơ bản khi $a > 0$, đồ thị luôn nằm phía trên trục $x$.
3. Đường thẳng $y = 0$ là một tiệm cận ngang, nên đồ thị tiến ngày càng gần trục $x$ mà không chạm vào nó.
4. Đồ thị tăng trưởng đi lên về phía bên phải. Đồ thị suy giảm đi xuống về phía bên phải.

Những đặc điểm này giúp bạn đọc đồ thị nhanh trước khi tính nhiều điểm.

Ví dụ mẫu: vẽ đồ thị $f(x) = 3 \cdot 2^x$

Ví dụ này cho thấy đồng thời hai ý quan trọng nhất: giá trị ban đầu và hệ số tăng trưởng.

$$f(x) = 3 \cdot 2^x$$

Trước tiên, hãy tính một vài giá trị:

$$\begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & \frac{3}{4} & \frac{3}{2} & 3 & 6 & 12 \end{array}$$

Bây giờ đồ thị sẽ dễ đọc hơn:

• Giao điểm với trục $y$ là $(0, 3)$, nên giá trị ban đầu là $3$.
• Mỗi bước sang phải làm giá trị đầu ra tăng gấp đôi, vì cơ số là $2$.
• Đồ thị tăng ngày càng nhanh, nhưng về phía rất xa bên trái nó vẫn tiến gần đến $y = 0$.

Nếu bạn đổi cơ số từ $2$ thành $\frac{1}{2}$, cùng một cách thiết lập sẽ trở thành suy giảm mũ thay vì tăng trưởng mũ.

Những lỗi thường gặp

Nhầm lẫn giữa hàm số mũ và hàm đa thức

$x^3$ không phải là hàm số mũ. Biến là cơ số. Trong $3^x$, biến là số mũ, nên đó mới là hàm số mũ.

Quên rằng cơ số quyết định tăng trưởng hay suy giảm

Trong dạng chuẩn $a b^x$ với $a > 0$, tăng trưởng nghĩa là $b > 1$ và suy giảm nghĩa là $0 < b < 1$. Cách gọi phụ thuộc vào cơ số, không phải vào cảm giác mơ hồ rằng đồ thị “cuối cùng sẽ đi lên”.

Quên giá trị ban đầu

Trong $f(x) = a b^x$, giá trị tại $x = 0$ là $a$. Đó là lượng ban đầu.

Nhầm giữa hệ số nhân và phần trăm thay đổi

Nếu một đại lượng tăng $20\%$ ở mỗi bước, hệ số nhân là $1.2$, không phải $0.2$. Nếu nó giảm $20\%$ ở mỗi bước, hệ số nhân là $0.8$.

Khi nào dùng hàm số mũ

Hàm số mũ được dùng khi sự thay đổi diễn ra theo một hệ số không đổi trong các khoảng thời gian bằng nhau. Các ví dụ phổ biến gồm:

• lãi kép
• tăng trưởng dân số với tốc độ tăng cố định
• phân rã phóng xạ
• mô hình làm nguội và các quá trình suy giảm khác

Nếu sự thay đổi là cộng dồn thay vì nhân theo hệ số, thì mô hình mũ thường không phù hợp.

Tự thử một ví dụ tương tự

Hãy thử phiên bản của riêng bạn với $f(x) = 5(0.7)^x$. Tính $f(0)$, $f(1)$ và $f(2)$, sau đó phác họa đồ thị và kiểm tra xem các giá trị đầu ra có giảm theo cùng một hệ số ở mỗi bước hay không. Chỉ cần thay cơ số từ $2$ thành $0.7$ là đủ để thấy rõ sự khác nhau giữa tăng trưởng và suy giảm.