Lý thuyết tập hợp — Định nghĩa, phép toán và biểu đồ Venn

Lý thuyết tập hợp nghiên cứu các bộ sưu tập đối tượng gọi là tập hợp. Với hầu hết các bài toán ở bậc phổ thông, những ý chính là phần tử, tập con, hợp, giao, hiệu và phần bù so với một tập vũ trụ.

Nếu điều đó nghe có vẻ trừu tượng, hãy nghĩ đến việc phân loại đồ vật thành các nhóm và theo dõi chỗ các nhóm chồng lên nhau. Đó chính là lý do lý thuyết tập hợp và biểu đồ Venn xuất hiện trong bài toán đếm, logic và xác suất.

Định nghĩa lý thuyết tập hợp: phần tử, quan hệ thuộc và tập con

Nếu $A = \{2,4,6,8\}$, thì số $4$ là một phần tử của $A$, viết là $4 \in A$. Số $5$ không phải là phần tử của $A$, viết là $5 \notin A$.

Tập con là một tập hợp mà mọi phần tử của nó đều thuộc một tập hợp khác. Nếu $B = \{2,4\}$, thì $B \subseteq A$ vì mọi phần tử của $B$ cũng đều thuộc $A$.

Hai tập hợp bằng nhau được xét theo nội dung, không theo thứ tự. Các tập $\{1,2,3\}$ và $\{3,2,1\}$ bằng nhau vì chúng chứa cùng các phần tử.

Các phép toán trên tập hợp: hợp, giao, hiệu và phần bù

Với hai tập hợp $A$ và $B$, các phép toán thường gặp nhất là:

• Hợp: $A \cup B$ là tất cả các phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$ hoặc thuộc cả hai.
• Giao: $A \cap B$ là các phần tử thuộc cả hai tập.
• Hiệu: $A \setminus B$ là các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$.
• Phần bù: $A^c$ là mọi phần tử không thuộc $A$, nhưng chỉ sau khi đã chọn một tập vũ trụ $U$.

Điều kiện cuối cùng đó rất quan trọng. Phần bù không phải là tuyệt đối. Nếu tập vũ trụ thay đổi, phần bù cũng có thể thay đổi.

Cách đọc biểu đồ Venn cho tập hợp

Biểu đồ Venn là hình biểu diễn các tập hợp dưới dạng các miền, thường là các hình tròn nằm trong một hình chữ nhật biểu diễn tập vũ trụ. Phần chồng lên nhau biểu diễn giao. Toàn bộ diện tích của cả hai hình tròn biểu diễn hợp.

Điều này quan trọng vì nhiều sai lầm đến từ việc nhầm lẫn ba miền khác nhau:

• chỉ thuộc $A$
• chỉ thuộc $B$
• thuộc cả $A$ và $B$

Nếu bạn tách riêng các miền đó trước, phép toán cần dùng thường sẽ trở nên rõ ràng.

Ví dụ có lời giải: hợp, giao, hiệu và phần bù

Cho

$$A = \{1,2,3,4\}, \qquad B = \{3,4,5,6\}$$

và tập vũ trụ là

$$U = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$$

Bắt đầu với phần giao nhau. Các phần tử thuộc cả hai tập là $3$ và $4$, nên

$$A \cap B = \{3,4\}$$

Bây giờ lấy tất cả các phần tử xuất hiện trong ít nhất một trong hai tập:

$$A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}$$

Tiếp theo, bỏ khỏi $A$ mọi phần tử cũng xuất hiện trong $B$. Khi đó còn lại

$$A \setminus B = \{1,2\}$$

Đối với phần bù của $A$, hãy xét trong tập vũ trụ và lấy mọi phần tử không thuộc $A$:

$$A^c = \{5,6,7,8\}$$

Trong biểu đồ Venn, $3$ và $4$ sẽ nằm ở phần giao nhau, $1$ và $2$ chỉ nằm trong hình tròn $A$, $5$ và $6$ chỉ nằm trong hình tròn $B$, còn $7$ và $8$ sẽ nằm ngoài cả hai hình tròn nhưng vẫn ở trong hình chữ nhật biểu diễn $U$.

Cách chọn nhanh phép toán tập hợp đúng

Những dấu hiệu ngôn ngữ sau thường chỉ ra đúng phép toán:

• "thuộc $A$ hoặc $B$" thường có nghĩa là $A \cup B$
• "thuộc cả hai" thường có nghĩa là $A \cap B$
• "thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$" thường có nghĩa là $A \setminus B$
• "không thuộc $A$" thường có nghĩa là $A^c$, nhưng chỉ sau khi $U$ đã được xác định rõ

Chừng đó thường đã đủ để chọn đúng phép toán trước cả khi bạn bắt đầu tính.

Những lỗi thường gặp trong lý thuyết tập hợp

Nhầm hợp với giao. Hợp là mọi phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập. Giao chỉ là phần chồng lên nhau. Nếu bài toán hỏi hai nhóm có điểm gì chung, thì hợp là quá rộng.

Quên tập vũ trụ khi xét phần bù. Viết $A^c$ mà không nêu $U$ khiến ý nghĩa chưa đầy đủ, vì phần bù phụ thuộc vào toàn bộ tập đang được xét.

Nhầm ký hiệu phần tử và tập con. Mệnh đề $3 \in A$ nói về một phần tử. Mệnh đề $\{3\} \subseteq A$ nói về một tập hợp chứa phần tử đó. Chúng có liên quan, nhưng không phải là cùng một khẳng định.

Đếm trùng các phần tử chung. Khi hai tập giao nhau, cộng trực tiếp số phần tử của chúng sẽ làm phần giao bị tính hai lần. Khi đó,

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

Quy tắc này là một trong những lý do biểu đồ Venn rất hữu ích trong các bài toán đếm và xác suất.

Lý thuyết tập hợp được dùng ở đâu

Lý thuyết tập hợp xuất hiện trong xác suất, logic, cơ sở dữ liệu và gần như mọi nhánh của toán học cao hơn. Trong các bài toán ở bậc phổ thông, nó đặc biệt hữu ích khi bạn cần sắp xếp các nhóm, theo dõi phần chồng lặp hoặc đếm kết quả một cách cẩn thận.

Nếu một bài toán xác suất hỏi về học sinh chơi thể thao, các ngôn ngữ một người biết, hoặc các kết quả có tính chất chung, thì biểu diễn bằng tập hợp thường là con đường nhanh nhất để ra đáp án.

Thử một bài toán lý thuyết tập hợp tương tự

Hãy chọn hai tập nhỏ, chẳng hạn các bội của $2$ và các bội của $3$ trong $U = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$. Tìm hợp, giao, hiệu và phần bù, rồi phác họa biểu đồ Venn và kiểm tra xem mỗi số có nằm đúng miền hay không.