Phân phối nhị thức — Công thức, điều kiện và ví dụ

Phân phối nhị thức cho biết xác suất nhận được đúng $k$ lần thành công trong $n$ phép thử. Chỉ dùng nó khi mỗi phép thử có hai kết quả đối với biến cố bạn quan tâm, các phép thử độc lập với nhau và xác suất thành công giữ nguyên qua mỗi lần.

Nếu một trong các điều kiện đó không đúng, phép tính có thể trông vẫn đúng nhưng mô hình lại sai.

Phân phối nhị thức có ý nghĩa gì

Giả sử bạn lặp lại cùng một kiểu phép thử $n$ lần. Ở mỗi phép thử, bạn gán một kết quả là thành công và kết quả còn lại là thất bại.

Nếu xác suất thành công ở mỗi phép thử đều là $p$, thì biến ngẫu nhiên $X$, tức số lần thành công, có thể tuân theo phân phối nhị thức.

Bạn thường sẽ thấy viết là

$$X \sim \text{Bin}(n,p)$$

Ký hiệu này có nghĩa là:

• $n$ là số phép thử
• $p$ là xác suất thành công ở mỗi phép thử
• $X$ đếm có bao nhiêu lần thành công xảy ra

Đây là một mô hình đếm. Nó không hỏi phép thử nào thành công. Nó hỏi tổng cộng đã có bao nhiêu lần thành công.

Công thức phân phối nhị thức

Với đúng $k$ lần thành công, xác suất là

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

Mỗi phần có một vai trò:

• $\binom{n}{k}$ đếm số cách sắp xếp $k$ lần thành công trong $n$ phép thử
• $p^k$ cho xác suất của $k$ lần thành công đó
• $(1-p)^{n-k}$ cho xác suất của các lần thất bại còn lại

Công thức này áp dụng cho $k=0,1,2,\dots,n$.

Khi nào có thể dùng công thức nhị thức

Chỉ dùng mô hình nhị thức khi tất cả các điều kiện sau đều đúng:

Số phép thử cố định

Bạn biết trước có bao nhiêu phép thử. Ví dụ, tung đồng xu $8$ lần thỏa điều kiện này.

Hai kết quả cho mỗi phép thử

Đối với biến cố bạn đang theo dõi, mỗi phép thử phải được phân loại là thành công hoặc thất bại. Một lần gieo xúc xắc vẫn có thể phù hợp nếu bạn định nghĩa thành công là kiểu như "ra mặt $6$".

Các phép thử độc lập

Một phép thử không được làm thay đổi xác suất ở phép thử tiếp theo. Lấy mẫu có hoàn lại có thể thỏa điều kiện này. Lấy mẫu không hoàn lại từ một nhóm nhỏ thì thường không thỏa.

Xác suất thành công không đổi

Giá trị $p$ phải giữ nguyên từ phép thử này sang phép thử khác. Nếu xác suất thay đổi mỗi lần, thì mô hình nhị thức đơn giản không còn phù hợp.

Ví dụ giải chi tiết: đúng 3 mặt ngửa trong 5 lần tung

Giả sử một đồng xu lệch có xác suất ra mặt ngửa là $0.6$. Bạn tung nó $5$ lần. Xác suất để được đúng $3$ mặt ngửa là bao nhiêu?

Gọi mặt ngửa là biến cố thành công. Khi đó

$$n=5,\quad p=0.6,\quad k=3$$

Dùng công thức:

$$P(X=3)=\binom{5}{3}(0.6)^3(0.4)^2$$

Bây giờ tính từng phần:

$$\binom{5}{3}=10,\quad (0.6)^3=0.216,\quad (0.4)^2=0.16$$

Vậy

$$P(X=3)=10(0.216)(0.16)=0.3456$$

Xác suất nhận được đúng $3$ mặt ngửa là $0.3456$, hay $34.56\%$.

Vì sao mô hình nhị thức hợp lệ ở đây? Thí nghiệm có $n$ cố định, hai kết quả cho mỗi lần tung, các phép thử độc lập và cùng một xác suất $p=0.6$ ở mỗi lần tung.

Mẹo nhanh cho trường hợp "ít nhất một"

Với các câu hỏi như "ít nhất một lần thành công", dùng biến cố bổ sung thường nhanh hơn so với cộng nhiều hạng.

Ví dụ, nếu $X \sim \text{Bin}(5,0.6)$, thì

$$P(X \ge 1)=1-P(X=0)=1-(0.4)^5$$

Điều này đúng vì "ít nhất một lần thành công" là biến cố bổ sung của "không có lần thành công nào".

Những lỗi thường gặp trong bài toán phân phối nhị thức

Bỏ qua các điều kiện

Một lỗi phổ biến là dùng công thức nhị thức khi các phép thử không độc lập. Ví dụ kinh điển là rút phần tử không hoàn lại từ một tập nhỏ nhưng vẫn giả sử rằng $p$ không hề thay đổi.

Hiểu sai ý nghĩa của "thành công"

Trong bài toán nhị thức, thành công không nhất thiết phải là điều tốt. Nó chỉ là kết quả mà bạn chọn để đếm.

Nhầm lẫn giữa "đúng", "ít nhất" và "nhiều nhất"

Những cụm này dẫn đến các phép tính khác nhau ngay cả trong cùng một thí nghiệm. "Đúng $3$" là một hạng, "ít nhất $3$" là nhiều hạng, còn "nhiều nhất $3$" là một tổng khác.

Khi nào phân phối nhị thức được dùng

Phân phối nhị thức xuất hiện khi bạn đếm các kết quả lặp lại kiểu có-hoặc-không như lỗi hay không lỗi, đậu hay rớt, nhấp hay không nhấp, hoặc ngửa hay sấp.

Nó hữu ích trong kiểm soát chất lượng, lấy mẫu khảo sát dưới các giả định phù hợp, các bài toán về độ tin cậy và các mô hình xác suất cơ bản trong thống kê.

Hãy thử một bài tương tự

Hãy tự thử với $8$ lần tung đồng xu khi $p=0.4$. Trước hết tìm $P(X=2)$, sau đó tìm $P(X \ge 1)$ bằng biến cố bổ sung. Nếu muốn thêm một trường hợp khác, hãy so sánh điều gì thay đổi khi các phép thử không còn độc lập.