Xác suất — Kiến thức cơ bản và công thức

Xác suất cho biết một biến cố có khả năng xảy ra đến mức nào. Trong các bài toán cơ bản, nó thường được biểu diễn trên thang từ $0$ đến $1$, trong đó $0$ là không thể xảy ra và $1$ là chắc chắn xảy ra.

Khi các kết quả có khả năng xảy ra như nhau, công thức xác suất cơ bản là:

$$P(A) = \frac{\text{favorable outcomes}}{\text{total outcomes}}$$

Điều kiện đó rất quan trọng. Tỉ số này áp dụng cho các trường hợp như xúc xắc cân đối hoặc một bộ bài đã được xáo kỹ. Nó không tự động đúng khi một số kết quả có khả năng xảy ra cao hơn những kết quả khác.

Định nghĩa xác suất: Kết quả và biến cố

Một kết quả là một khả năng xảy ra cụ thể. Một biến cố là tập hợp các kết quả mà bạn quan tâm.

Ví dụ, khi gieo một con xúc xắc cân đối, ra $4$ là một kết quả. Ra một số chẵn là một biến cố vì nó gồm $2$, $4$ và $6$.

Nếu xúc xắc là cân đối, xác suất gieo được số chẵn là:

$$P(\text{even}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Điều đó có nghĩa là biến cố này xảy ra một nửa số lần trong mô hình xúc xắc cân đối lý tưởng. Xác suất là một cách chính xác để mô tả sự không chắc chắn, không chỉ là một công thức để học thuộc.

Các công thức xác suất cơ bản cần biết

Công thức cơ bản cho các kết quả đồng khả năng

Dùng

$$P(A) = \frac{\text{favorable outcomes}}{\text{total outcomes}}$$

chỉ khi mỗi kết quả đều có khả năng xảy ra như nhau.

Quy tắc biến cố đối

Đôi khi sẽ dễ hơn nếu tìm khả năng một biến cố không xảy ra:

$$P(A^c) = 1 - P(A)$$

Quy tắc này đặc biệt hữu ích với các cụm như "ít nhất một" hoặc "không".

Quy tắc cộng

Để tìm xác suất $A$ hoặc $B$ xảy ra, dùng:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Bạn phải trừ phần giao nhau vì nếu không, các kết quả thuộc cả hai biến cố sẽ bị tính hai lần.

Nếu hai biến cố xung khắc, thì $P(A \cap B) = 0$, nên quy tắc trở thành:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Quy tắc nhân

Với các biến cố độc lập:

$$P(A \cap B) = P(A)P(B)$$

Nếu biến cố thứ hai phụ thuộc vào biến cố thứ nhất, hãy dùng xác suất có điều kiện:

$$P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A)$$

Điều kiện là phần quan trọng nhất. Đừng nhân một cách máy móc nếu chưa có cơ sở để kết luận tính độc lập.

Ví dụ mẫu: Xác suất có ít nhất một số $6$ trong hai lần gieo

Giả sử bạn gieo một con xúc xắc cân đối hai lần. Xác suất để xuất hiện ít nhất một số $6$ là bao nhiêu?

Đây là một trường hợp rất phù hợp để dùng quy tắc biến cố đối. Thay vì đếm mọi trường hợp có số $6$, trước hết hãy tìm xác suất không ra số $6$ nào.

Trong một lần gieo:

$$P(\text{no }6) = \frac{5}{6}$$

Vì hai lần gieo là độc lập, xác suất không ra số $6$ ở cả hai lần là:

$$P(\text{no }6\text{ on both rolls}) = \frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6} = \frac{25}{36}$$

Bây giờ dùng biến cố đối:

$$P(\text{at least one }6) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$$

Vậy xác suất có ít nhất một số $6$ trong hai lần gieo là:

$$\frac{11}{36}$$

Ví dụ này cho thấy đồng thời hai ý quan trọng: tính độc lập cho phép bạn nhân xác suất, và các bài toán "ít nhất một" thường dễ làm nhất bằng cách dùng biến cố đối.

Những lỗi thường gặp trong xác suất

Một lỗi phổ biến là dùng công thức tỉ số khi các kết quả không đồng khả năng. Công thức $P(A) = \frac{\text{favorable}}{\text{total}}$ chỉ đúng khi mỗi kết quả có cùng khả năng xảy ra.

Một lỗi khác là cộng xác suất của các biến cố có phần giao nhau mà không trừ phần giao đó. Nếu một kết quả thuộc cả hai biến cố, phép cộng đơn giản sẽ cho ra giá trị quá lớn.

Học sinh cũng hay nhầm giữa "và" với "hoặc". Trong xác suất, "và" thường chỉ giao của hai biến cố như $A \cap B$, còn "hoặc" chỉ hợp như $A \cup B$.

Một lỗi cuối cùng là nhân các biến cố không độc lập. Nếu một kết quả làm thay đổi khả năng của kết quả tiếp theo, bạn cần thêm bước xác suất có điều kiện.

Khi nào các công thức xác suất được sử dụng

Xác suất được dùng ở bất cứ đâu con người cần suy luận về sự không chắc chắn. Dự báo thời tiết, xét nghiệm y khoa, bảo hiểm, kiểm soát chất lượng, thăm dò ý kiến và trò chơi đều dựa vào nó.

Mô hình chính xác sẽ phụ thuộc vào từng tình huống. Có bài toán dùng các kết quả đồng khả năng, còn bài khác dựa trên dữ liệu, giả định hoặc tần suất đo được. Các công thức vẫn hữu ích, nhưng chỉ khi điều kiện áp dụng của chúng phù hợp với bài toán.

Hãy thử một bài toán xác suất tương tự

Hãy thử rút một lá bài từ một bộ bài tiêu chuẩn và tìm xác suất rút được một lá cơ. Sau đó đổi câu hỏi thành "một lá cơ hoặc một lá K" và xem bạn có cần dùng quy tắc cộng hay không.

Nếu muốn kiểm tra một cách làm tương tự sau khi tự giải, hãy thử phiên bản của riêng bạn trong một công cụ giải toán và so sánh cách xác định biến cố trước khi so sánh kết quả cuối cùng.