Biểu diễn không gian trạng thái

Biểu diễn không gian trạng thái viết lại một hệ động lực thành một hệ các phương trình bậc nhất. Thay vì làm việc với một phương trình vi phân bậc cao duy nhất, bạn theo dõi một vectơ trạng thái chứa thông tin cần thiết để dự đoán điều gì xảy ra tiếp theo.

Nếu bạn đang tìm cách chuyển một phương trình vi phân sang dạng không gian trạng thái, thì đây là ý chính: chọn các biến trạng thái, viết một phương trình cho đạo hàm của từng biến, và giữ mô hình ở dạng bậc nhất.

Biểu Diễn Không Gian Trạng Thái Trong Một Định Nghĩa

Nói chung, một mô hình không gian trạng thái có thể được viết là

$$x'(t) = f(x(t), u(t), t)$$

Ở đây $x(t)$ là vectơ trạng thái và $u(t)$ là đầu vào nếu hệ có đầu vào. Nếu hệ là tuyến tính và bất biến theo thời gian, cùng ý tưởng đó có dạng ma trận

$$x'(t) = Ax(t) + Bu(t), \qquad y(t) = Cx(t) + Du(t)$$

Phiên bản ma trận này rất phổ biến trong điều khiển học và phương trình vi phân, nhưng không gian trạng thái rộng hơn trường hợp tuyến tính.

Trạng Thái Có Ý Nghĩa Gì

Trạng thái là tập hợp các đại lượng hiện tại cho phép bạn xác định hành vi tương lai khi đầu vào đã biết. Với một vật đang chuyển động, chỉ vị trí thường là chưa đủ. Vị trí và vận tốc cùng nhau thường là đủ.

Đó là lý do biểu diễn không gian trạng thái hữu ích. Nó biến một bài toán tiến hóa theo thời gian thành một dạng bậc nhất chuẩn, dễ phân tích, mô phỏng và liên hệ với các phương pháp ma trận hơn.

Vì Sao Lại Viết Lại Hệ Theo Cách Này

Nhiều mô hình ban đầu có dạng phương trình vi phân bậc cao. Dạng không gian trạng thái viết lại chúng mà không làm thay đổi động lực học cơ bản.

Điều này quan trọng vì các hệ bậc nhất cùng khớp vào một cấu trúc. Khi mô hình đã ở trong cấu trúc đó, việc bàn về điều kiện đầu, đầu vào, đầu ra và tính ổn định sẽ dễ dàng và nhất quán hơn.

Ví Dụ Có Lời Giải: Chuyển Phương Trình Bậc Hai Sang Không Gian Trạng Thái

Bắt đầu với

$$y'' + 3y' + 2y = u(t)$$

Ở đây $u(t)$ là một đầu vào. Hãy chọn các biến trạng thái nắm bắt điều kiện hiện tại của hệ:

$$x_1 = y, \qquad x_2 = y'$$

Bây giờ viết một phương trình bậc nhất cho mỗi biến trạng thái. Vì $x_1 = y$,

$$x_1' = x_2$$

Vì $x_2 = y'$, ta cũng có $x_2' = y''$. Biến đổi lại phương trình ban đầu, ta được

$$y'' = -3y' - 2y + u(t)$$

Thay $y = x_1$ và $y' = x_2$:

$$x_2' = -2x_1 - 3x_2 + u(t)$$

Vậy các phương trình trạng thái là

$$\begin{aligned} x_1' &= x_2 \\ x_2' &= -2x_1 - 3x_2 + u(t) \end{aligned}$$

Ở dạng vectơ, với

$$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},$$

ta có

$$x' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} u(t)$$

Nếu đầu ra là đại lượng ban đầu $y$, thì

$$y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} x$$

Bước then chốt là chuyển từ một phương trình bậc hai thành hai phương trình bậc nhất. Đó chính là cốt lõi của biểu diễn không gian trạng thái.

Cần Chú Ý Gì Trong Ví Dụ Này

Các biến trạng thái được chọn có lý do. Chúng giúp có thể viết mô hình dưới dạng một hệ bậc nhất.

Cũng cần lưu ý rằng đầu ra $y$ không giống với toàn bộ vectơ trạng thái. Trong ví dụ này, $y = x_1$, còn trạng thái đầy đủ là $(x_1, x_2)$. Hai khái niệm này có thể trùng nhau phần nào, nhưng không tự động là một.

Những Lỗi Thường Gặp Khi Chuyển Sang Dạng Không Gian Trạng Thái

Nhầm lẫn giữa trạng thái và đầu ra

Trạng thái chứa các biến bên trong cần thiết để hệ tiến triển theo thời gian. Đầu ra là đại lượng mà bạn chọn để quan sát. Đôi khi chúng trùng nhau, nhưng không mặc nhiên là giống nhau.

Cho rằng biểu diễn là duy nhất

Thường thì không phải vậy. Những cách chọn biến trạng thái khác nhau vẫn có thể mô tả cùng một động lực học, miễn là chúng nắm bắt đủ thông tin.

Quên yêu cầu bậc nhất

Một mô hình không gian trạng thái được viết bằng các phương trình bậc nhất theo các biến trạng thái. Nếu bạn vẫn còn để lại đạo hàm bậc hai của một biến trạng thái nào đó, thì việc viết lại vẫn chưa hoàn tất.

Xem mọi mô hình đều là tuyến tính

Dạng ma trận với $A$, $B$, $C$ và $D$ chỉ áp dụng khi các phương trình tuyến tính theo các biến trạng thái đã chọn. Hệ phi tuyến vẫn dùng không gian trạng thái, nhưng được viết bằng các hàm thay vì các ma trận hằng.

Biểu Diễn Không Gian Trạng Thái Được Dùng Ở Đâu

Biểu diễn không gian trạng thái xuất hiện trong phương trình vi phân, lý thuyết điều khiển, xử lý tín hiệu, robot học và vật lý. Nó đặc biệt hữu ích khi bạn quan tâm đến cách một hệ thay đổi theo thời gian và cách đầu vào tác động đến sự thay đổi đó.

Nếu mô hình là tuyến tính, các phương pháp ma trận trở nên đặc biệt hữu ích. Chẳng hạn, các trị riêng của ma trận $A$ có thể giúp mô tả sự tăng trưởng, suy giảm hoặc dao động, nhưng chỉ dưới các giả thiết đã được xây vào mô hình.

Tự Thử Một Phiên Bản Của Bạn

Xét

$$y'' + 4y' + 5y = 0$$

và chọn $x_1 = y$, $x_2 = y'$. Hãy viết lại nó thành một hệ bậc nhất, rồi xác định ma trận $A$. Nếu bạn đã nắm được, hãy thử một bài tương tự có thêm hạng đầu vào và xem ma trận $B$ xuất hiện như thế nào.