Tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz

Tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz cho biết có bao nhiêu nghiệm của đa thức đặc trưng nằm trong nửa mặt phẳng phải mà không cần giải trực tiếp các nghiệm. Trong hệ thống điều khiển, đây là cách kiểm tra nhanh xem một hệ liên tục theo thời gian có ổn định tiệm cận hay không.

Với đa thức hệ số thực

$$p(s) = a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0,$$

với $a_n > 0$, hãy lập bảng Routh và xét cột đầu tiên của bảng. Sau khi xử lý các trường hợp đặc biệt như số 0 ở cột đầu tiên hoặc cả một hàng toàn số 0, số lần đổi dấu trong cột đầu tiên đó bằng số nghiệm có phần thực dương. Nếu không có lần đổi dấu nào, mọi nghiệm đều nằm trong nửa mặt phẳng trái mở.

Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz kiểm tra điều gì

Trong hầu hết các bài toán điều khiển, ổn định nghĩa là mọi nghiệm đặc trưng đều thỏa mãn $\operatorname{Re}(s) < 0$. Điều kiện này rất quan trọng: tiêu chuẩn Routh-Hurwitz thông thường áp dụng cho các hệ liên tục theo thời gian trong mặt phẳng $s$, không phải cho các hệ rời rạc trong mặt phẳng $z$.

Giá trị thực tế của tiêu chuẩn này là tốc độ. Bạn có thể quyết định tính ổn định chỉ từ các hệ số, điều này thường dễ hơn so với việc tìm chính xác các nghiệm.

Cách lập bảng Routh

Bắt đầu bằng cách liệt kê các hệ số theo lũy thừa giảm dần của $s$. Hai hàng đầu tiên lấy các hệ số xen kẽ:

$$\begin{array}{c|ccc} s^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} \end{array}$$

Sau đó tính các hàng phía dưới từ hai hàng ngay phía trên chúng. Với một đa thức bậc ba,

$$p(s) = s^3 + a_1 s^2 + a_2 s + a_3,$$

ta có bảng:

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & a_2 \\ s^2 & a_1 & a_3 \\ s^1 & \dfrac{a_1 a_2 - a_3}{a_1} & 0 \\ s^0 & a_3 & 0 \end{array}$$

Vì vậy, với đa thức bậc ba có hệ số đầu dương, điều kiện để ổn định tiệm cận là

$$a_1 > 0,\quad a_2 > 0,\quad a_3 > 0,\quad a_1 a_2 > a_3.$$

Bất đẳng thức cuối cùng là phần mà nhiều người hay bỏ sót. Chỉ các hệ số dương thôi thì chưa đủ.

Ví dụ chi tiết: hệ số dương nhưng vẫn không ổn định

Xét

$$p(s) = s^3 + s^2 + 2s + 8.$$

Mọi hệ số đều dương nên thoạt nhìn có thể tưởng là ổn định. Bảng Routh cho thấy vì sao kết luận đó là sai.

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & \dfrac{(1)(2) - (1)(8)}{1} & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

Rút gọn hàng $s^1$ ta được

$$\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 2 \\ s^2 & 1 & 8 \\ s^1 & -6 & 0 \\ s^0 & 8 & 0 \end{array}$$

Bây giờ chỉ nhìn vào cột đầu tiên:

$$1,\quad 1,\quad -6,\quad 8.$$

Có hai lần đổi dấu, từ $1$ sang $-6$ và từ $-6$ sang $8$. Vậy đa thức có $2$ nghiệm trong nửa mặt phẳng phải, nghĩa là hệ không ổn định.

Đây là trực giác chính cần nhớ: với bậc $3$ trở lên, các hệ số dương không đảm bảo ổn định.

Những lỗi thường gặp với tiêu chuẩn Routh-Hurwitz

Chỉ kiểm tra các hệ số

Nếu mọi hệ số đều dương, điều đó không tự động có nghĩa là hệ ổn định. Ví dụ chi tiết ở trên chính là một phản ví dụ.

Quên miền áp dụng của phép kiểm tra

Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz thông thường áp dụng cho các đa thức đặc trưng liên tục theo thời gian trong biến $s$. Nếu bạn đang học một hệ rời rạc, bạn cần một phép kiểm tra khác.

Bỏ qua các trường hợp đặc biệt

Số 0 ở cột đầu tiên hoặc cả một hàng toàn số 0 là trường hợp đặc biệt, không phải điểm dừng thông thường. Những trường hợp này cần một quy trình bổ sung, thường liên quan đến một nhiễu nhỏ hoặc một đa thức phụ.

Không chuẩn hóa đa thức

An toàn nhất là viết đa thức theo lũy thừa giảm dần của $s$ và làm cho hệ số đầu là số dương trước khi lập bảng. Nếu không, phép kiểm tra dấu rất dễ bị đọc sai.

Khi nào dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz

Hãy dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz khi một mô hình dẫn đến đa thức đặc trưng và bạn cần câu trả lời về tính ổn định một cách nhanh chóng.

Trong hệ thống điều khiển, nó kiểm tra xem hệ kín có ổn định hay không mà không cần tính tường minh các cực. Trong các mô hình mạch điện và cơ học, nó giúp kiểm tra xem việc chọn tham số có dẫn đến đáp ứng suy giảm hay tăng dần hay không. Trong thiết kế, nó hữu ích để tìm các khoảng tham số giữ cho hệ ổn định.

Nó đặc biệt hữu ích khi việc giải chính xác các nghiệm sẽ chậm hoặc không cần thiết.

Thử một bài kiểm tra ổn định tương tự

Hãy thử cùng quy trình với

$$p(s) = s^3 + 4s^2 + 5s + 2.$$

Hãy lập cột đầu tiên và kiểm tra xem có xuất hiện lần đổi dấu nào không. Sau đó so sánh câu trả lời của bạn với điều kiện bậc ba $a_1 a_2 > a_3$ để thấy rằng cả hai cách đều cho cùng một kết quả.