Biến đổi Laplace — Bảng, tính chất và biến đổi ngược

Biến đổi Laplace chuyển một hàm theo miền thời gian $f(t)$ thành một hàm mới $F(s)$ thường dễ làm việc hơn. Trong một khóa học nhập môn, vai trò chính của nó khá đơn giản: biến phương trình vi phân có điều kiện đầu thành bài toán đại số, rồi dùng biến đổi Laplace ngược để quay lại biến $t$.

Với biến đổi Laplace một phía được dùng trong hầu hết các lớp phương trình vi phân, định nghĩa là

$$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt$$

khi tích phân hội tụ.

Nếu $\operatorname{Re}(s)$ đủ lớn, thừa số $e^{-st}$ sẽ làm suy giảm hành vi khi $t$ lớn và tích phân suy rộng có thể vẫn hữu hạn. Điều kiện hội tụ đó là một phần của phép biến đổi, không phải ghi chú phụ thêm.

Biến đổi Laplace giúp bạn làm gì

Phép biến đổi này không làm thay đổi ý nghĩa của bài toán. Nó chỉ đóng gói lại bài toán dưới một dạng mà phép vi phân trở thành đại số.

Đó là lý do phương pháp này đặc biệt hữu ích cho các bài toán giá trị ban đầu tuyến tính. Bạn vẫn giữ điều kiện đầu, nhưng bản thân phương trình thường trở nên dễ giải hơn.

Bảng biến đổi Laplace: các cặp thường gặp

Đây là những mục trong bảng mà sinh viên dùng thường xuyên nhất. Điều kiện ở cột bên phải rất quan trọng vì nó cho biết nơi phép biến đổi tồn tại.

$f(t)$	$\mathcal\{L\}\{f(t)\}$	Có hiệu lực khi
$1$	$\frac\{1\}\{s\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$t$	$\frac\{1\}\{s^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$e^\{at\}$	$\frac\{1\}\{s-a\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > a$
$\sin(bt)$	$\frac\{b\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$
$\cos(bt)$	$\frac\{s\}\{s^2+b^2\}$	$\operatorname\{Re\}(s) > 0$

Nếu bạn chỉ làm các ví dụ trên lớp với giá trị thực, các điều kiện đó thường xuất hiện dưới dạng bất đẳng thức như $s > 0$ hoặc $s > a$. Tổng quát hơn, phép biến đổi được xác định trên một miền của mặt phẳng phức $s$.

Các tính chất của biến đổi Laplace làm phần lớn công việc

Bạn không cần một danh sách dài. Ba tính chất này xử lý được phần lớn các bài toán trong khóa học đầu tiên.

Tính tuyến tính

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

Tính chất này cho phép bạn tách một tổng thành các phép biến đổi đơn giản hơn.

Quy tắc đạo hàm

Nếu $f$ liên tục từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn và có cấp số mũ, thì

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

Đây là bước then chốt khi giải bài toán giá trị ban đầu. Giá trị ban đầu xuất hiện tự động thay vì phải thêm vào sau bằng tay.

Dịch mũ

Nếu $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$ và cả hai phép biến đổi đều tồn tại, thì

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

Đó là lý do nhiều mục trong bảng liên hệ với nhau chỉ bằng một phép dịch đơn giản theo $s$.

Biến đổi Laplace ngược: ý nghĩa là gì

Biến đổi Laplace ngược bắt đầu từ $F(s)$ và khôi phục lại hàm theo miền thời gian $f(t)$.

Về mặt lý thuyết có một công thức nghịch đảo chính thức. Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán trên lớp, bạn không tính trực tiếp công thức đó. Thay vào đó, bạn rút gọn $F(s)$ về các dạng quen thuộc trong bảng, thường bằng đại số hoặc phân tích thành phân số riêng, rồi đọc đáp án từ bảng.

Ví dụ mẫu: dùng biến đổi Laplace để giải một bài toán giá trị ban đầu

Xét

$$y'(t) + y(t) = 1, \qquad y(0) = 0$$

Đặt

$$Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$$

Lấy biến đổi Laplace hai vế:

$$\mathcal{L}\{y'(t)\} + \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{1\}$$

Dùng quy tắc đạo hàm và mục trong bảng cho $1$:

$$sY(s) - y(0) + Y(s) = \frac{1}{s}$$

Vì $y(0) = 0$,

$$(s+1)Y(s) = \frac{1}{s}$$

Suy ra

$$Y(s) = \frac{1}{s(s+1)}$$

Bây giờ tách nó thành các phân thức đơn giản hơn:

$$\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1}$$

Lấy biến đổi Laplace ngược từng hạng:

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} = 1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\} = e^{-t}$$

Do đó,

$$y(t) = 1 - e^{-t}$$

Đây là toàn bộ quy trình biến đổi Laplace trong một ví dụ: biến đổi, giải theo $s$, rồi biến đổi ngược. Một phương trình vi phân đã trở thành bài toán đại số, và điều kiện đầu đã được đưa vào phép tính ngay từ đầu.

Những lỗi thường gặp khi dùng biến đổi Laplace

Quên điều kiện hội tụ

Một mục trong bảng chỉ đúng tại nơi tích phân định nghĩa hội tụ. Nếu bạn bỏ qua điều kiện đó, bạn đang bỏ sót một phần của đáp án.

Bỏ mất giá trị ban đầu trong $\mathcal{L}\{f'(t)\}$

Hạng tử $-f(0)$ rất dễ bị bỏ qua. Nếu bạn bỏ nó đi, phương trình sau khi biến đổi thường sẽ giải sai bài toán.

Cố biến đổi ngược quá sớm

Nếu $F(s)$ là một biểu thức hữu tỉ, thường sẽ dễ hơn nếu rút gọn nó trước. Phân tích thành phân số riêng là một bước rất phổ biến trước khi lấy biến đổi ngược.

Khi nào dùng biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace đặc biệt hữu ích cho các phương trình vi phân thường tuyến tính có điều kiện đầu. Đây là cách dùng tiêu chuẩn trong lớp học.

Nó cũng xuất hiện trong phân tích mạch điện, hệ điều khiển, mô hình hóa tín hiệu và bất kỳ bối cảnh nào cần xử lý có hệ thống các đáp ứng mũ và đầu vào theo miền thời gian.

Tự thử một phiên bản của riêng bạn

Hãy thử cùng quy trình đó với

$$y'(t) + 2y(t) = 3, \qquad y(0) = 1$$

Biến đổi phương trình, giải $Y(s)$, rồi biến đổi ngược. Nếu muốn kiểm tra nhanh, hãy so sánh $y(t)$ cuối cùng của bạn với điều kiện đầu ban đầu và với phương trình vi phân tại $t=0$.