Danh sách các công thức Giải tích (Vi phân và Tích phân)

Dành cho những bạn muốn tra cứu nhanh các công thức giải tích, mình sẽ tóm tắt những dạng cần thiết nhất trước. Vi phân là phép tính xem "tại một thời điểm, giá trị thay đổi bao nhiêu", còn tích phân là xem "tổng giá trị tích lũy được là bao nhiêu". Những công thức cơ bản bạn cần nhớ đầu tiên là về đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ và hàm logarit.

Nếu chỉ học vẹt, bạn sẽ dễ bị lúng túng khi áp dụng. Vì vậy, cách thực tế nhất là học công thức đi kèm với "dạng nào thì dùng" và "có ngoại lệ ở đâu". Đặc biệt trong tích phân, $n = -1$ là một trường hợp ngoại lệ, còn trong vi phân sẽ có các quy tắc riêng cho hàm tích, hàm thương và hàm hợp.

Xem nhanh danh sách công thức Giải tích

Nếu bạn đang cần tra cứu gấp, chỉ cần xem qua các dạng này là đủ.

Công thức vi phân cơ bản

$\frac{d}{dx} c = 0$

$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$

$\frac{d}{dx} \left(af(x) + bg(x)\right) = af'(x) + bg'(x)$

Trong đó $a$, $b$, $c$ là các hằng số. Đối với đa thức, bạn có thể vi phân từng số hạng một.

Đối với hàm tích, hàm thương và hàm hợp, hãy sử dụng các quy tắc sau:

$\frac{d}{dx} \left(f(x)g(x)\right) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$\frac{d}{dx} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}, \quad g(x) \ne 0$

Hơn nữa, khi hàm số nằm lồng nhau (hàm hợp), bạn cần sử dụng quy tắc chuỗi (chain rule).

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$

Với các dạng lồng nhau như $(2x+1)^5$ hay $\sin(3x)$, bạn không thể bỏ qua quy tắc chuỗi.

Công thức tích phân cơ bản

$\int c \, dx = cx + C$

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1$

$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

Trong tích phân, mọi người rất dễ quên hằng số $+C$ ở cuối, nên khi làm tích phân bất định, hãy luôn nhớ thêm nó vào.

Các công thức vi phân thường dùng

Dưới đây là các dạng cơ bản xuất hiện thường xuyên:

$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$

$\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}, \quad x > 0$

Công thức vi phân của $\ln x$, trong phạm vi số thực, sẽ được dùng trực tiếp khi $x > 0$. Bạn nên nhớ kèm theo cả tập xác định để tránh nhầm lẫn.

Các công thức tích phân thường dùng

Các tích phân bất định của hàm cơ bản sẽ dễ nhớ hơn nếu bạn học theo cặp đối xứng với vi phân.

$\int e^x \, dx = e^x + C$

$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$

Ba công thức này rất dễ sai dấu, nên nếu phân vân, bạn hãy thử vi phân kết quả xem có quay lại hàm ban đầu hay không.

Ví dụ minh họa cách vận hành của công thức

Hãy cùng xem xét biểu thức:

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$

Vì đây là đa thức, chúng ta có thể xử lý vi phân và tích phân cho từng số hạng.

Đầu tiên, khi vi phân:

$f'(x) = 6x^2 - 6x + 4$

Bạn sẽ dễ theo dõi hơn nếu nhìn theo quy tắc: "Hạ số mũ xuống 1 đơn vị và nhân số mũ cũ lên trước".

Tiếp theo, khi lấy tích phân bất định cho cùng biểu thức đó:

$\int \left(2x^3 - 3x^2 + 4x - 1\right)\,dx = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 - x + C$

Điều mình muốn bạn thấy ở ví dụ này là: vi phân làm số mũ giảm đi 1, còn tích phân làm số mũ tăng lên 1. Tuy nhiên, vì tích phân có kèm theo $+C$, nên nó không phải là phép toán ngược 1-1 hoàn toàn, mà là "phép toán ngược có độ chênh lệch bởi một hằng số".

Các lỗi thường gặp khi dùng công thức Giải tích

1. Áp dụng trực tiếp $n = -1$ vào $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Thực tế $1/x$ phải là $\ln|x| + C$.
2. Với hàm hợp như $(2x+1)^5$, chỉ vi phân hàm bên ngoài mà quên nhân với đạo hàm của hàm bên trong. Đây là lỗi điển hình khi dùng quy tắc chuỗi.
3. Quên viết $+C$ khi tính tích phân. Điều này là bắt buộc đối với tích phân bất định.
4. Nhầm dấu giữa $\int \sin x \, dx$ và $\int \cos x \, dx$. Nếu không chắc, hãy thử vi phân ngược lại để kiểm tra.
5. Trong trường hợp cần dùng quy tắc vi phân tích hoặc thương, lại tự ý vi phân riêng lẻ từng số hạng. Quy tắc cho tích và thương khác hoàn toàn với quy tắc cho tổng.

Khi nào thì sử dụng các công thức này?

Công thức vi phân được dùng để tìm độ dốc của tiếp tuyến, vận tốc, gia tốc, hoặc tìm giá trị cực đại và cực tiểu. Công thức tích phân thường được dùng để tính diện tích, quãng đường di chuyển hoặc tính tổng tích lũy của một đại lượng.

Nói cách khác, các công thức giải tích không chỉ là bảng tính toán khô khan. Chúng là công cụ để chúng ta chuyển đổi qua lại giữa "sự thay đổi tức thời" và "sự tích lũy tổng thể". Khi hiểu theo cách này, việc chọn công thức nào sẽ trở nên tự nhiên hơn nhiều.

Hãy tự thử sức

Bạn hãy thử tự vi phân $f(x) = 3x^4 - 2x + 7$, sau đó lấy tích phân bất định của chính biểu thức đó. Khi đã thành thạo với đa thức, hãy thử vi phân $(3x+1)^4$ để làm quen với các trường hợp cần dùng quy tắc chuỗi.

Nếu muốn luyện tập thêm, bạn hãy thử với các biểu thức chứa hàm lượng giác hoặc hàm hợp và tự xác định xem mình cần áp dụng công thức nào nhé.