Hàm truyền đạt

Hàm truyền đạt là quy tắc trong miền Laplace nối đầu vào của một hệ tuyến tính bất biến theo thời gian với đầu ra của nó. Với điều kiện đầu bằng 0, nó được định nghĩa là

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$$

trong đó $X(s)$ là đầu vào sau biến đổi và $Y(s)$ là đầu ra sau biến đổi. Nói đơn giản, nó cho biết hệ đáp ứng mạnh đến mức nào với các đầu vào khác nhau mà không cần giải lại toàn bộ phương trình vi phân từ đầu mỗi lần.

Đây không đơn giản là “đầu ra chia cho đầu vào” trong mọi tình huống. Định nghĩa này chỉ đúng trong những điều kiện cụ thể, và các điều kiện đó rất quan trọng.

Hàm Truyền Đạt Cho Bạn Biết Điều Gì

Hàm truyền đạt gói gọn hành vi của một hệ vào trong một biểu thức. Khi đã biết $H(s)$, bạn thường có thể nhận ra hệ có khuếch đại, làm suy giảm, làm trễ hay lọc một phần nào đó của tín hiệu vào hay không.

Với các bài toán trạng thái xác lập hình sin, ta đánh giá nó trên trục ảo dưới dạng $H(i\omega)$. Điều đó cho hai thông tin thực tế:

• biên độ, cho biết một tín hiệu vào hình sin ở tần số góc $\omega$ được khuếch đại hay suy giảm bao nhiêu
• pha, cho biết đầu ra bị lệch bao nhiêu so với đầu vào

Đó là lý do hàm truyền đạt xuất hiện trong mạch điện, dao động, lọc tín hiệu và điều khiển.

Khi Nào $H(s) = Y(s)/X(s)$ Là Hợp Lệ

Công thức quen thuộc này giả sử hệ là tuyến tính và bất biến theo thời gian. Nếu tính tuyến tính không còn đúng, các đầu vào sẽ không kết hợp theo nguyên lý chồng chất như thông thường. Nếu tính bất biến theo thời gian không còn đúng, hệ có thể ứng xử khác nhau ở những thời điểm khác nhau, nên một hàm truyền đạt cố định là không đủ.

Điều kiện đầu bằng 0 cũng rất quan trọng. Năng lượng tích trữ trong tụ điện, cuộn cảm hoặc bộ dao động cơ học sẽ làm thay đổi đầu ra thực tế, nhưng phần đóng góp thêm đó không thuộc về bản thân hàm truyền đạt. Hàm truyền đạt mô tả quy luật vào-ra vốn có của hệ trong thiết lập chuẩn với điều kiện đầu bằng 0.

Ví Dụ Có Lời Giải: Bộ Lọc RC Thông Thấp

Xét một điện trở $R$ mắc nối tiếp với một tụ điện $C$, và đo đầu ra trên tụ điện. Trong miền Laplace, trở kháng của tụ là $1/(sC)$, nên theo quy tắc chia áp ta có

$$H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}} = \frac{1}{1 + sRC}$$

Đây là một hàm truyền đạt thông thấp. Tần số thấp đi qua dễ hơn tần số cao, vì vậy đầu ra trông như một phiên bản được làm mượt của đầu vào.

Chọn một trường hợp cụ thể:

$$R = 1000\ \Omega, \qquad C = 1\ \mu\mathrm{F}$$

Khi đó

$$RC = 10^{-3}\ \mathrm{s}$$

nên hàm truyền đạt trở thành

$$H(s) = \frac{1}{1 + 0.001s}$$

Tần số góc cắt là

$$\omega_c = \frac{1}{RC} = 1000\ \mathrm{rad/s}$$

tương ứng với

$$f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} \approx 159\ \mathrm{Hz}$$

Tại tần số cắt,

$$\left|H(i\omega_c)\right| = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$$

Vì vậy biên độ đầu ra bằng khoảng $70.7\%$ biên độ đầu vào tại tần số đó. Chỉ riêng con số này đã cho bạn một thông tin hữu ích: mạch bắt đầu làm suy giảm tín hiệu một cách đáng kể quanh $159\ \mathrm{Hz}$ và cao hơn.

Để kiểm tra nhanh trực giác, nếu $\omega \ll 1000\ \mathrm{rad/s}$ thì $|H(i\omega)|$ gần bằng $1$, nên đầu ra gần như có cùng độ lớn với đầu vào. Nếu $\omega \gg 1000\ \mathrm{rad/s}$, biên độ trở nên nhỏ, nên các dao động nhanh bị suy giảm mạnh.

Những Lỗi Thường Gặp Với Hàm Truyền Đạt

• Dùng thuật ngữ này cho các hệ không được mô hình hóa là tuyến tính và bất biến theo thời gian.
• Quên xác định rõ đại lượng nào là đầu vào và đại lượng nào là đầu ra.
• Xem hàm truyền đạt như thể nó đã bao gồm các điều kiện đầu tùy ý.
• Nhầm lẫn giữa hàm truyền đạt tổng quát trong miền Laplace $H(s)$ và đáp ứng tần số $H(i\omega)$.
• Chỉ đọc biên độ mà bỏ qua độ lệch pha khi pha có ý nghĩa vật lý quan trọng.

Hàm Truyền Đạt Được Dùng Ở Đâu

Hàm truyền đạt hữu ích bất cứ khi nào một hệ có thể được mô hình hóa bằng các phương trình vi phân tuyến tính và bạn quan tâm đến cách đầu vào truyền sang đầu ra. Các ví dụ phổ biến gồm mạch RC và RLC, bộ dao động cơ học có tắt dần, hệ hồi tiếp và các mô hình cảm biến đơn giản.

Trong vật lý, chúng đặc biệt hữu ích khi câu hỏi chính không phải là toàn bộ diễn biến theo thời gian, mà là hệ đáp ứng thế nào với kích thích, quá trình lọc hoặc dao động theo các tần số khác nhau.

Thử Một Hàm Truyền Đạt Tương Tự

Hãy thử cùng mạch RC đó, nhưng đo đầu ra trên điện trở thay vì trên tụ điện. Bạn sẽ thu được một hàm truyền đạt thông cao, và sự so sánh đó giúp khắc sâu một ý quan trọng: thay đổi đầu ra sẽ làm thay đổi hàm truyền đạt.