Trigonometrik Özdeşlikler: Temel Liste, İspat Fikirleri ve Örnek

Trigonometrik özdeşlikler, $\sin$, $\cos$, $\tan$ ve ilgili fonksiyonları içeren; her iki tarafın da tanımlı olduğu her açı için doğru olan formüllerdir. Cebir, precalculus ve başlangıç düzeyi kalkülüste kullanılan standart trigonometrik özdeşlikleri arıyorsanız, temel liste şu gruplardan oluşur: ters, bölüm, Pisagor, tek-çift, eşfonksiyon, toplam-fark, iki kat açı ve yarım açı özdeşlikleri.

Bunları kalıcı hâle getirmenin en hızlı yolu, amaçlarına göre gruplamaktır. Bazıları bir trigonometrik fonksiyonu başka biri cinsinden yazar, bazıları $\sin \theta$ ile $\cos \theta$ arasında bağlantı kurar, bazıları ise açıyı $\theta$'dan $2\theta$'ya ya da $\theta/2$'ye dönüştürür.

Bir denklemi trigonometrik özdeşlik yapan nedir?

Bir özdeşlik, tanım kümesindeki her açı için doğrudur. Örneğin,

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

bir özdeşliktir çünkü her $\theta$ için geçerlidir.

Buna karşılık,

$$\sin \theta = \frac{1}{2}$$

bir özdeşlik değildir. Yalnızca belirli açılar için doğrudur.

Tanım kümesi koşulu önemlidir. Örneğin,

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

yalnızca $\cos \theta \neq 0$ iken doğrudur.

Temel trigonometrik özdeşlikler listesi

Ters özdeşlikler

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \qquad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$$

Her formülde paydanın sıfır olmaması gerekir.

Bölüm özdeşlikleri

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Bunlar, her şeyi $\sin$ ve $\cos$ cinsinden yazdıkları için sadeleştirme sorularında çoğu zaman ilk adımdır.

Pisagor özdeşlikleri

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

İlk özdeşlik, diğer ikisinin kaynağıdır.

Tek-çift özdeşlikleri

$$\sin(-\theta) = -\sin \theta, \qquad \cos(-\theta) = \cos \theta, \qquad \tan(-\theta) = -\tan \theta$$

Aynı örüntü ters fonksiyonlara da uzanır: $\csc$ ve $\cot$ tek, $\sec$ ise çifttir.

Eşfonksiyon özdeşlikleri

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta$$ $$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta$$

Bunlar tümler açılardan gelir.

Toplam ve fark özdeşlikleri

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

Tanjant formüllerinde paydanın sıfır olmaması gerekir.

İki kat açı özdeşlikleri

Açı toplamı formüllerinde $\alpha = \beta = \theta$ alın.

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$ $$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1$$ $$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

Tanjantın bu biçiminde ayrıca $1 - \tan^2 \theta \neq 0$ olması gerekir.

Yarım açı özdeşlikleri

Bunlar, iki kat açı formüllerinin yeniden düzenlenmesiyle elde edilir.

$$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$$ $$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$$

Açı $\theta/2$ biçiminde yazıldığında, karekök içeren biçimler şunlardır:

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$

İşaret, $\theta/2$ açısının bulunduğu bölgeye bağlıdır; bu yüzden $\pm$ ifadesi düşünmeden atılamaz.

Temel trigonometrik özdeşlikler nereden gelir?

Birim çember ilk Pisagor özdeşliğini verir

Birim çember üzerinde, $\theta$ açısına karşılık gelen nokta $(\cos \theta, \sin \theta)$ olur. Bu çember üzerindeki her nokta $x^2 + y^2 = 1$ denklemini sağladığı için, $x = \cos \theta$ ve $y = \sin \theta$ yazınca

$$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$

elde edilir.

Bu, temel Pisagor özdeşliğidir.

Diğer Pisagor özdeşlikleri bölme işleminden gelir

Eğer $\cos \theta \neq 0$ ise,

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

eşitliğini $\cos^2 \theta$'ya bölün:

$$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$ $$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$$

Eğer $\sin \theta \neq 0$ ise, $\sin^2 \theta$'ya bölmek

$$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

sonucunu verir.

İki kat açı özdeşlikleri açı toplamı formüllerinden gelir

Şununla başlayın:

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

ve $\alpha = \beta = \theta$ alın:

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

Kosinüs ve tanjant için iki kat açı özdeşlikleri de aynı şekilde türetilir.

Çözümlü örnek: bir iki kat açı ifadesini sadeleştirme

Şu ifadeyi sadeleştirin:

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)}$$

Burada, ifadenin tanımlı olduğu açılar dikkate alınmalıdır.

İki kat açı özdeşliklerini kullanın:

$$1 - \cos(2\theta) = 1 - \left(1 - 2\sin^2 \theta\right) = 2\sin^2 \theta$$

ve

$$\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$$

Şimdi yerine yazın:

$$\frac{1 - \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} = \frac{2\sin^2 \theta}{2\sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$$

Bu sonuç yalnızca başlangıçtaki paydanın sıfır olmadığı yerlerde geçerlidir; yani $\sin(2\theta) \neq 0$ olmalıdır. Bu koşul önemlidir çünkü bir ortak çarpanı sadeleştirmek, başta dışlanmış değerleri gizleyebilir.

Trigonometrik özdeşliklerde sık yapılan hatalar

Tanım kümesi kısıtlarını göz ardı etmek en çok sorun çıkaran hatadır. $\sin \theta$ ya da $\cos \theta$ ile bölme işlemi, yalnızca bu nicelik sıfır değilse geçerlidir.

Bir diğer yaygın hata, yarım açı formüllerindeki $\pm$ işaretini atmaktır. Karekök tek başına trigonometrik değerin işaretini belirlemez.

Öğrenciler ayrıca $\sin^2 \theta$ ile $\sin(\theta^2)$ ifadelerini karıştırır. $\sin^2 \theta$ gösterimi, $(\sin \theta)^2$ anlamına gelir.

Trigonometrik özdeşlikler ne zaman kullanılır?

Trigonometrik özdeşlikler, bir ifadeyi daha kullanışlı bir biçime dönüştürmeniz gerektiğinde karşınıza çıkar. Buna ödev sorularını sadeleştirmek, iki ifadenin eşit olduğunu göstermek, trigonometrik denklemleri çözmek ve integral gibi kalkülüs konularına hazırlanmak dahildir.

Uygulamada, birçok soru her şey $\sin \theta$ ve $\cos \theta$ cinsinden yazıldığında daha kolay hâle gelir.

Benzer bir soru deneyin

Şu ifadeyi sadeleştirin:

$$\frac{\sin(2\theta)}{1 + \cos(2\theta)}$$

Bunu iki kat açı özdeşliklerini kullanarak yapın ve başlangıçtaki ifadenin tanım kümesi koşulunu göz önünde bulundurun. Sonrasında bir adım daha atmak isterseniz, sonucunuzu $\tan \theta$ ile karşılaştırın.