Ters Trigonometrik Fonksiyonlar — Formüller ve Grafikler

Ters trigonometrik fonksiyonlar, bir trigonometrik değerden açı döndürür. Pratikte $\arcsin x$, $\arccos x$ ve $\arctan x$ fonksiyonlarının her biri, uygun olan tüm açıları değil, esas değer denilen tek bir standart açıyı verir.

Bu sınırlama zorunludur. Sinüs, kosinüs ve tanjant tam grafiklerinde değerleri tekrar eder; bu yüzden ancak her çıktının tam olarak bir açıdan geldiği aralıklarla sınırlandırıldıklarında tersleri tanımlanabilir.

$\arcsin x$, $\arccos x$ ve $\arctan x$ ne anlama gelir?

Bu tanımlar hem trigonometrik ilişkiyi hem de izin verilen çıktı aralığını gösterir:

$$\arcsin x = y \quad \text{means} \quad \sin y = x \text{ and } -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x = y \quad \text{means} \quad \cos y = x \text{ and } 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x = y \quad \text{means} \quad \tan y = x \text{ and } -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Bu aralık koşulları ek bir ayrıntı değildir. Ters fonksiyonun tek değerli olmasını sağlayan şey tam olarak budur.

Gerçekte bilmeniz gereken tanım ve değer kümeleri

Öğrencilerin en sık kullandığı üç ters trigonometrik fonksiyon için:

$$\arcsin x: \quad -1 \le x \le 1, \quad -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$ $$\arccos x: \quad -1 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le \pi$$ $$\arctan x: \quad x \in \mathbb{R}, \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Her satırı önce girdi, sonra çıktı olarak okuyun. Örneğin $\arcsin x$ yalnızca $-1 \le x \le 1$ aralığını kabul eder; çünkü sinüs bu aralığın dışında bir değer üretmez.

Ters trigonometrik grafikler nasıl çalışır?

Ters trigonometrik grafikler, $y = x$ doğrusuna göre yansımadır; ancak bu, asıl trigonometrik fonksiyon bire bir olduğu bir aralığa sınırlandırıldıktan sonra geçerlidir.

Örneğin $y = \arcsin x$, sınırlandırılmış sinüs grafiğinin

$$y = \sin x \quad \text{for} \quad -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$$

$y = x$ doğrusuna göre yansımasıdır.

Aynı fikir şu eşleşmeleri verir:

$$y = \arccos x \leftrightarrow y = \cos x \quad \text{for} \quad 0 \le x \le \pi$$ $$y = \arctan x \leftrightarrow y = \tan x \quad \text{for} \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$$

Sinüs, kosinüs veya tanjantın tüm tekrar eden grafiğini yansıtmayın. Tam grafik yatay doğru testini geçmez; dolayısıyla ters fonksiyonu olamaz.

Esas değer aralığıyla bir çözümlü örnek

Hesaplayın:

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$$

$\cos y = -\frac{1}{2}$ olacak $y$ açısını arıyoruz. Bu koşulu sağlayan birçok açı vardır, ama $\arccos x$ esas değer aralığındaki açıyı döndürmelidir:

$$0 \le y \le \pi$$

Bu aralıkta doğru açı $y = \frac{2\pi}{3}$ olduğundan,

$$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$$

Kazanmanız gereken temel alışkanlık şudur: Koşulu sağlayan herhangi bir açıyı aramayın. Doğru aralıktaki açıyı arayın.

Ters trigonometrikte yaygın hatalar

En yaygın hata, ters trigonometrik fonksiyonları karşıt trigonometrik fonksiyonlarla karıştırmaktır. $\arcsin x$, $\csc x$ ile aynı şey değildir ve $\sin^{-1} x$ de genellikle $1/\sin x$ değil, ters sinüs anlamına gelir.

Bir başka yaygın hata da esas değer aralığını göz ardı etmektir. Örneğin $\sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, ama

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

çünkü $\frac{\pi}{6}$, $\arcsin x$ için izin verilen aralıktaki açıdır.

Öğrenciler bazen tanım kümesini de unutur. $\arcsin 2$ ve $\arccos(-3)$ gibi ifadeler reel değerli değildir; çünkü sinüs ve kosinüs $[-1,1]$ aralığının dışında çıktı üretmez.

Ters trigonometrik fonksiyonlar ne zaman kullanılır?

Ters trigonometrik fonksiyonlar, bir oranı bilip açıyı geri bulmanız gerektiğinde ortaya çıkar. Bu durum dik üçgen geometrisinde, navigasyonda, eğim ve yön problemlerinde, vektör bileşenlerinde ve üçgene dayalı modellemede görülür.

Kalkülüste de önemlidirler. Türevlerde, $\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$ gibi belirsiz integrallerde ve trigonometrik ifadeler içeren değişken dönüşümlerinde karşınıza çıkarlar.

Bunları düşünmenin 2 adımlı bir yolu

Bir ters trigonometrik ifadeyi hesaplarken şu iki kontrolü yapın:

1. Verilen değer hangi trigonometrik fonksiyona karşılık geliyor?
2. Bu fonksiyonun esas değer aralığındaki açı hangisi?

Bu iki kontrolü birlikte yaparsanız, formüller ve grafikler çok daha kolay anlaşılır.

Kendi örneğinizi deneyin

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ve $\arctan(1)$ ifadelerini hesaplamayı deneyin. Önce esas değer aralığını seçerseniz, iki cevap da hızlıca ortaya çıkar.