Doğru ve Ters Orantı — Formüller ve Örnekler

Doğru orantı, iki büyüklüğün aynı katsayıyla değişmesi demektir; yani oranları sabit kalır. Ters orantı ise bir büyüklük artarken diğerinin, çarpımı sabit tutacak şekilde azalması demektir. Kısaca, doğru orantıda $y = kx$, ters orantıda ise $y = \frac{k}{x}$ kullanılır.

Doğru ve ters orantıya kısa bakış

İki büyüklük doğru orantılıysa, biri iki katına çıkınca diğeri de iki katına çıkar. Ters orantılıysa, biri iki katına çıkınca diğeri yarıya iner.

Standart formüller şunlardır:

$$y = kx$$

doğru orantı için, ve

$$y = \frac{k}{x}$$

ters orantı için; burada $k$ bir sabittir ve $x \ne 0$.

En hızlı test şudur:

• Doğru orantı: $\frac{y}{x}$ sabit kalır.
• Ters orantı: $xy$ sabit kalır.

Doğru orantı ne demektir

Doğru orantıda, bir büyüklük her zaman diğerinin sabit bir katıdır. Kalemlerin tanesi $2$ dolar ise, toplam maliyet $C$, kalem sayısı $n$ ile doğru orantılıdır:

$$C = 2n$$

Burada orantı sabiti $k = 2$ olur. Birim fiyat aynı kaldığı sürece $\frac{C}{n}$ oranı $2$'ye eşit kalır.

Bu koşul önemlidir. Sabit bir teslimat ücreti veya toplu alım indirimi varsa, ilişki artık doğru orantı olmaz.

Ters orantı ne demektir

Ters orantıda sabit kalan şey oran değil, çarpımdır. Yaygın bir örnek, aynı iş için geçen süre ile işçi sayısı arasındaki ilişkidir; tabii her işçi aynı hızda çalışıyorsa ve koordinasyon kayıpları göz ardı ediliyorsa.

$w$ işçi sayısı ve $t$ süre ise,

$$wt = k$$

olur.

Buna göre işçi sayısını iki katına çıkarmak, süreyi yarıya indirir.

Bu ancak toplam iş sabit kaldığında ve tüm işçiler eşit verimle çalıştığında ters orantı modeli olur. Gerçek projelerde, işçi eklemek her zaman süreyi kusursuz biçimde azaltmaz.

Çözümlü örnek: doğru ve ters orantı

Farkı yan yana görünce anlamak daha kolaydır.

Doğru orantı örneği

Sabit fiyatla $4$ defterin $12$ dolar tuttuğunu düşünelim.

Defter başına maliyet

$$k = \frac{12}{4} = 3$$

olur.

Buna göre doğru orantı formülü

$$C = 3n$$

şeklindedir.

$7$ defter alırsanız,

$$C = 3(7) = 21$$

olur.

Yani $7$ defterin fiyatı $21$ dolardır.

Ters orantı örneği

Şimdi de $4$ işçinin, aynı işi eşit çalışma hızlarıyla ve aynı toplam iş miktarıyla $6$ saatte bitirdiğini düşünelim.

Sabit çarpım

$$k = wt = 4 \cdot 6 = 24$$

olur.

Buna göre ters orantı formülü

$$t = \frac{24}{w}$$

şeklindedir.

İşi $8$ işçi yaparsa,

$$t = \frac{24}{8} = 3$$

olur.

Yani iş $3$ saat sürer.

Temel fark şudur:

• Doğru orantıda oran sabit kaldı: $\frac{12}{4} = \frac{21}{7} = 3$.
• Ters orantıda çarpım sabit kaldı: $4 \cdot 6 = 8 \cdot 3 = 24$.

Doğru ve ters orantıda sık yapılan hatalar

Artan her ilişkiyi doğru orantı sanmak

Artan her ilişki doğru orantı değildir. Doğru orantıda oran sabit kalmalı ve model $y = kx$ biçimine uymalıdır.

Örneğin, $y = x + 5$ ifadesi $x$ arttıkça artar; ama doğru orantı değildir, çünkü $\frac{y}{x}$ sabit kalmaz.

Azalan her ilişkiyi ters orantı sanmak

Azalan her ilişki ters orantı değildir. Ters orantıda çarpım sabit kalmalıdır.

Örneğin, $y = 10 - x$ azalır; ama $xy$ sabit kalmadığı için ters orantı değildir.

Modelin çalışmasını sağlayan koşulu göz ardı etmek

Bu formüller, durumun basit kalmasına bağlıdır. Sabit birim fiyat doğru orantıyı destekler. Eşit işçi hızıyla sabit toplam iş, ters orantıyı destekler. Bu koşul değişirse model geçersiz olabilir.

Doğru ve ters orantı nerelerde kullanılır

Doğru orantı; sabit fiyatlı alışverişte, harita ölçeklerinde, birim dönüşümlerde ve sabit hızla alınan yolda karşımıza çıkar.

Ters orantı; iş-hız problemlerinde, sabit bir mesafe için hız ile yolculuk süresi arasında ve bir büyüklüğün sabit kalması için diğerinin azalması gereken basit fizik ilişkilerinde görülür.

Her iki durumda da temel beceri, neyin sabit kaldığını fark etmektir.

Bir ilişkinin doğru mu ters mi olduğunu nasıl anlarsınız

Hangi modelin uygun olduğundan emin değilseniz, önce bilinen bir değer çiftini test edin.

1. $\frac{y}{x}$ değerini hesaplayın. Geçerli veri noktalarında aynı kalıyorsa doğru orantıyı düşünün.
2. $xy$ çarpımını hesaplayın. Bunun yerine bu sabit kalıyorsa ters orantıyı düşünün.
3. Hiçbiri sabit kalmıyorsa, ilişki büyük olasılıkla bu ikisinden biri değildir.

Benzer bir soru deneyin

Aynı koşulu koruyarak her örnekte bir sayıyı değiştirin. Defter örneğinde birim fiyatı değiştirin. İşçi örneğinde işçi sayısını değiştirin ve çarpımın hâlâ sabit kalıp kalmadığını kontrol edin.