ตรีโกณมิติ — สูตร

สูตรตรีโกณมิติคือความสัมพันธ์ระหว่าง $\sin$, $\cos$, $\tan$ และฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง ใช้เพื่อหาค่ามุม จัดรูปนิพจน์ และพิสูจน์เอกลักษณ์ ถ้าคุณค้นหา "สูตรตรีโกณมิติ" สิ่งที่ควรจำจริง ๆ มีไม่กี่กลุ่ม: สูตรพื้นฐาน, สูตรเอกลักษณ์, สูตรบวกมุมลบมุม, และสูตรมุมสองเท่ากับครึ่งมุม

จุดสำคัญคือไม่ใช่ทุกสูตรใช้ได้ทุกสถานการณ์ บางสูตรมีเงื่อนไข เช่น ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์ และสูตรครึ่งมุมต้องเลือกเครื่องหมายจากควอดแรนต์ของมุม

สูตรตรีโกณมิติพื้นฐานที่ต้องรู้

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก สำหรับมุม $\theta$

$$\sin \theta = \frac{\text{ด้านตรงข้าม}}{\text{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{ด้านประชิด}}{\text{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{ด้านตรงข้าม}}{\text{ด้านประชิด}}$$

ถ้า $\cos \theta \ne 0$ จะเขียนได้อีกแบบว่า

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

ความสัมพันธ์แบบส่วนกลับคือ

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

สูตรชุดนี้เหมาะกับการเริ่มต้น เพราะเป็นฐานของสูตรอื่นเกือบทั้งหมด

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่ใช้จัดรูปบ่อย

สูตรที่สำคัญที่สุดคือ

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

จากสูตรนี้จึงได้อีก 2 รูปที่ใช้บ่อย โดยมีเงื่อนไขกำกับ

$$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \quad \text{เมื่อ } \cos \theta \ne 0$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta \quad \text{เมื่อ } \sin \theta \ne 0$$

เวลาจัดรูปโจทย์ มักใช้สูตรเหล่านี้เพื่อเปลี่ยน $1 - \sin^2 \theta$ เป็น $\cos^2 \theta$ หรือเปลี่ยน $1 + \tan^2 \theta$ เป็น $\sec^2 \theta$

สูตรบวกมุมและลบมุมใช้ตอนไหน

สูตรกลุ่มนี้ใช้เมื่อมุมที่ต้องการหาเขียนเป็นผลบวกหรือผลต่างของมุมที่คุ้นเคยกว่า

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

สำหรับสูตรของ $\tan$ ต้องระวังเป็นพิเศษ เพราะค่าของ $\tan \alpha$, $\tan \beta$ ต้องนิยามได้ และตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์

สูตรมุมสองเท่าและครึ่งมุม

ถ้ามุมเดียวกันถูกคูณด้วย $2$ ให้คิดถึงสูตรมุมสองเท่า

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$

สูตรเดียวกันนี้เขียนได้อีก 2 แบบ

$$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

สูตรครึ่งมุมคือ

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$ $$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$$

เครื่องหมาย $\pm$ ในสูตรครึ่งมุมห้ามเดา ต้องตัดสินจากตำแหน่งของมุม $\frac{\theta}{2}$ ว่าอยู่ในควอดแรนต์ใด

ตัวอย่างสูตรตรีโกณมิติ: หา $\sin 75^\circ$

$75^\circ$ ไม่ใช่มุมพิเศษที่มักท่องค่าตรง ๆ กัน วิธีที่เร็วคือแยกเป็นมุมที่คุ้นเคยกว่า คือ $45^\circ + 30^\circ$

$$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ)$$

ใช้สูตรบวกมุม

$$= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$$

แทนค่ามุมพิเศษ

$$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$$ $$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

ใจความของตัวอย่างนี้คือ เมื่อมุมดูไม่คุ้น ให้ลองแยกเป็นผลบวกหรือผลต่างของมุมพิเศษก่อน แล้วจึงใช้สูตรที่ตรงกับรูปนั้น

จุดที่มักพลาดเวลาใช้สูตรตรีโกณมิติ

ข้อพลาดที่เจอบ่อยคือสลับเครื่องหมายในสูตร $\cos(\alpha + \beta)$ กับ $\cos(\alpha - \beta)$ และใช้สูตรที่มีตัวหารโดยไม่ตรวจว่าตัวส่วนเป็นศูนย์หรือไม่

อีกจุดที่ทำให้งงบ่อยคือ $\sin^2 \theta$ หมายถึง $(\sin \theta)^2$ ไม่ใช่ $\sin(\theta^2)$ ส่วนสูตรครึ่งมุมต้องเลือก $+$ หรือ $-$ จากควอดแรนต์ ไม่ใช่เลือกจากความคุ้นตา

สูตรตรีโกณมิติใช้ในโจทย์แบบไหน

สูตรตรีโกณมิติใช้ในโจทย์หาค่าที่แน่นอนของมุมพิเศษ การพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ การแก้สมการตรีโกณมิติ และในแคลคูลัสที่ต้องแปลงรูปก่อนหาอนุพันธ์หรือปริพันธ์ นอกจากนี้ยังพบในฟิสิกส์เมื่อมีการแกว่ง คลื่น หรือการหมุน

ถ้าโจทย์มีมุมที่ดูแยกได้ เช่น $75^\circ$, $15^\circ$ หรือมีนิพจน์อย่าง $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta$ นั่นมักเป็นสัญญาณว่าควรดึงสูตรตรีโกณมิติมาใช้

ลองทำต่อเอง

ลองหา $\cos 15^\circ$ โดยเขียน $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ แล้วใช้สูตรลบมุม ถ้าคุณทำข้อนี้ได้ คุณจะเริ่มเห็นว่าการเลือก "กลุ่มสูตร" ให้ตรงโจทย์สำคัญกว่าการท่องทุกสูตรให้ครบ