Fiche de formules de trigonométrie

Cette fiche de formules de trigonométrie regroupe les identités les plus utilisées par les élèves : les définitions de base, les identités réciproques et pythagoriciennes, ainsi que les formules d’addition, de soustraction, d’angle double et d’angle moitié.

La manière la plus utile de voir les formules de trigonométrie, c’est qu’elles sont liées entre elles, et non arbitraires. Les définitions dans le triangle rectangle expliquent les rapports, et le cercle trigonométrique montre pourquoi les mêmes relations réapparaissent pour n’importe quel angle.

Les formules de trigonométrie essentielles à connaître

Pour un angle $\theta$ dans un triangle rectangle :

$$\sin \theta = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$$

Si $\cos \theta \ne 0$, la tangente est le quotient du sinus par le cosinus :

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

Les fonctions réciproques sont :

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Ces définitions de base s’appliquent directement dans les triangles rectangles. Pour des problèmes de trigonométrie plus généraux, on interprète généralement ces mêmes relations sur le cercle trigonométrique.

Identités pythagoriciennes

Ce sont les identités qui reviennent sans cesse quand on simplifie des expressions :

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \quad \text{when } \cos \theta \ne 0$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta \quad \text{when } \sin \theta \ne 0$$

La première identité est la plus importante. Les deux autres s’obtiennent en divisant par $\cos^2 \theta$ ou $\sin^2 \theta$, donc la condition sur le dénominateur est essentielle.

Formules d’addition et de soustraction des angles

Utilisez-les quand vous réécrivez un angle comme la somme ou la différence de deux angles plus simples :

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

Pour la tangente, le dénominateur ne doit pas être égal à $0$, et chaque valeur de tangente utilisée doit être définie.

Formules d’angle double et d’angle moitié

Les formules d’angle double sont utiles quand le même angle apparaît deux fois :

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$

Les formes équivalentes du cosinus sont :

$$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

Les formules d’angle moitié sont :

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$ $$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$$

Pour les formules d’angle moitié avec racine carrée, le signe dépend du quadrant de $\theta/2$.

Exemple corrigé : trouver $\sin 75^\circ$

Écrivez $75^\circ$ sous la forme $45^\circ + 30^\circ$ et utilisez la formule d’addition :

$$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ)$$ $$= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$$

Remplacez maintenant par les valeurs remarquables connues :

$$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$$ $$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

C’est le schéma principal dans les exercices de trigonométrie à valeur exacte : décomposer un angle plus difficile en angles familiers, puis appliquer soigneusement une formule.

Erreurs fréquentes avec les formules de trigonométrie

1. Confondre identités et équations. Une identité est vraie pour tout angle où les deux membres sont définis. Une équation comme $\sin \theta = \frac{1}{2}$ n’est vraie que pour certains angles précis.
2. Oublier les conditions de définition. $\tan \theta$, $\sec \theta$ et les formules construites à partir d’elles ne sont pas définies lorsque $\cos \theta = 0$.
3. Oublier le signe dans les formules d’angle moitié. Le $\pm$ se détermine à partir du quadrant de $\theta/2$, et non du seul signe de $\theta$.
4. Recopier le mauvais signe dans les formules d’angles. Les formules du cosinus sont particulièrement faciles à inverser par erreur.
5. Utiliser les définitions du triangle rectangle hors de leur cadre sans passer à l’interprétation sur le cercle trigonométrique. Pour les angles au-delà des angles aigus d’un triangle, le cercle trigonométrique est l’interprétation la plus sûre.

Quand utilise-t-on les formules de trigonométrie ?

Ces formules servent à simplifier des expressions trigonométriques, résoudre des équations trigonométriques, trouver des valeurs exactes et appuyer des travaux de calcul différentiel et intégral, comme les dérivées, les intégrales et les changements de variable. Elles apparaissent aussi en physique et en ingénierie dès qu’un problème fait intervenir une rotation, des ondes, des oscillations ou un mouvement périodique.

En pratique, la méthode est généralement la suivante : repérer la structure, vérifier la condition, choisir l’identité correspondante, puis simplifier assez lentement pour conserver les bons signes.

Essayez un exercice similaire

Essayez de trouver $\cos 15^\circ$ en écrivant $15^\circ$ sous la forme $45^\circ - 30^\circ$. Si votre résultat est exact et positif, vous avez bien utilisé la fiche.