Ściąga ze wzorów trygonometrycznych

Ta ściąga ze wzorów trygonometrycznych zawiera tożsamości, których uczniowie używają najczęściej: podstawowe definicje, tożsamości odwrotne i pitagorejskie oraz wzory na dodawanie, odejmowanie, podwajanie i połowienie kąta.

Najlepiej myśleć o wzorach trygonometrycznych jako o układzie powiązanych zależności, a nie przypadkowym zbiorze reguł. Definicje w trójkącie prostokątnym wyjaśniają ilorazy, a okrąg jednostkowy pokazuje, dlaczego te same zależności pojawiają się dla dowolnego kąta.

Podstawowe wzory trygonometryczne, których naprawdę używasz

Dla kąta $\theta$ w trójkącie prostokątnym:

$$\sin \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$

Jeśli $\cos \theta \ne 0$, tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa:

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

Funkcje odwrotne to:

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Te podstawowe definicje działają bezpośrednio w trójkątach prostokątnych. W szerszych zadaniach z trygonometrii te same zależności interpretuje się zwykle na okręgu jednostkowym.

Tożsamości pitagorejskie

To są tożsamości, które pojawiają się bez przerwy przy upraszczaniu wyrażeń:

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \quad \text{when } \cos \theta \ne 0$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta \quad \text{when } \sin \theta \ne 0$$

Pierwsza tożsamość jest najważniejsza. Dwie pozostałe wynikają z podzielenia przez $\cos^2 \theta$ lub $\sin^2 \theta$, więc warunek dotyczący mianownika ma znaczenie.

Wzory na sumę i różnicę kątów

Używaj ich, gdy zapisujesz kąt jako sumę lub różnicę dwóch łatwiejszych kątów:

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

W przypadku tangensa mianownik nie może być równy $0$, a każda użyta wartość tangensa musi być określona.

Wzory na podwójny i połowę kąta

Wzory na podwójny kąt są przydatne, gdy ten sam kąt występuje dwa razy:

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$

Równoważne postacie wzoru na cosinus to:

$$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

Wzory na połowę kąta to:

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$ $$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$$

W przypadku wzorów z pierwiastkiem na połowę kąta znak zależy od ćwiartki, w której leży $\theta/2$.

Przykład: oblicz $\sin 75^\circ$

Zapisz $75^\circ$ jako $45^\circ + 30^\circ$ i użyj wzoru na sumę kątów:

$$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ)$$ $$= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$$

Teraz podstaw znane wartości dla kątów szczególnych:

$$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$$ $$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

To jest główny schemat w zadaniach z dokładnymi wartościami trygonometrycznymi: rozbij trudniejszy kąt na znane kąty, a potem ostrożnie zastosuj odpowiedni wzór.

Najczęstsze błędy przy wzorach trygonometrycznych

1. Mylenie tożsamości z równaniami. Tożsamość jest prawdziwa dla każdego kąta, dla którego obie strony są określone. Równanie takie jak $\sin \theta = \frac{1}{2}$ jest prawdziwe tylko dla konkretnych kątów.
2. Zapominanie o warunkach dziedziny. $\tan \theta$, $\sec \theta$ oraz wzory z nich zbudowane nie są określone, gdy $\cos \theta = 0$.
3. Pomijanie znaku we wzorach na połowę kąta. Znak $\pm$ wyznacza ćwiartka kąta $\theta/2$, a nie sam znak $\theta$.
4. Przepisanie złego znaku we wzorach na kąty. Wzory na cosinus szczególnie łatwo pomylić.
5. Używanie definicji z trójkąta prostokątnego poza ich zakresem bez przejścia do interpretacji na okręgu jednostkowym. Dla kątów większych niż ostre kąty trójkąta bezpieczniejsza jest interpretacja przez okrąg jednostkowy.

Kiedy używa się wzorów trygonometrycznych

Tych wzorów używa się do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych, rozwiązywania równań trygonometrycznych, wyznaczania wartości dokładnych oraz w analizie matematycznej, na przykład przy pochodnych, całkach i podstawieniach. Pojawiają się też w fizyce i inżynierii wszędzie tam, gdzie problem dotyczy obrotu, fal, drgań lub ruchu okresowego.

W praktyce schemat działania jest zwykle taki: rozpoznaj wzór, sprawdź warunek, wybierz pasującą tożsamość, a potem upraszczaj na tyle powoli, żeby nie zgubić znaków.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj obliczyć $\cos 15^\circ$, zapisując $15^\circ$ jako $45^\circ - 30^\circ$. Jeśli wynik jest dokładny i dodatni, to znaczy, że dobrze użyłeś tej ściągi.