Bảng công thức lượng giác

Bảng công thức lượng giác này tổng hợp những hằng đẳng thức học sinh dùng nhiều nhất: các định nghĩa cơ bản, các hệ thức nghịch đảo và hệ thức Pythagore, cùng các công thức cộng, trừ, góc đôi và góc nửa.

Cách hữu ích để hiểu các công thức lượng giác là xem chúng có liên hệ với nhau, không phải là những công thức rời rạc. Các định nghĩa trong tam giác vuông giải thích các tỉ số, còn đường tròn đơn vị giải thích vì sao những quan hệ đó lặp lại với mọi góc.

Những công thức lượng giác cốt lõi thực sự hay dùng

Với một góc $\theta$ trong tam giác vuông:

$$\sin \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$

Nếu $\cos \theta \ne 0$, tang bằng thương của sin và cos:

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

Các hàm nghịch đảo là:

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Các định nghĩa cơ bản này áp dụng trực tiếp trong tam giác vuông. Với các bài toán lượng giác rộng hơn, những quan hệ tương tự thường được hiểu theo đường tròn đơn vị.

Các hệ thức Pythagore

Đây là những hằng đẳng thức xuất hiện liên tục khi bạn rút gọn biểu thức:

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \quad \text{when } \cos \theta \ne 0$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta \quad \text{when } \sin \theta \ne 0$$

Hệ thức đầu tiên là hệ thức quan trọng nhất. Hai hệ thức còn lại có được bằng cách chia cho $\cos^2 \theta$ hoặc $\sin^2 \theta$, nên điều kiện ở mẫu số rất quan trọng.

Công thức cộng và hiệu góc

Dùng các công thức này khi bạn viết một góc thành tổng hoặc hiệu của hai góc dễ hơn:

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

Với tang, mẫu số không được bằng $0$, và mỗi giá trị tang được dùng đều phải xác định.

Công thức góc đôi và góc nửa

Công thức góc đôi hữu ích khi cùng một góc xuất hiện hai lần:

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$

Các dạng tương đương của công thức cos là:

$$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

Các công thức góc nửa là:

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$ $$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$$

Với các công thức góc nửa có căn bậc hai, dấu phụ thuộc vào góc phần tư của $\theta/2$.

Ví dụ mẫu: Tìm $\sin 75^\circ$

Viết $75^\circ$ thành $45^\circ + 30^\circ$ rồi dùng công thức cộng góc:

$$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ)$$ $$= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$$

Bây giờ thay các giá trị góc đặc biệt đã biết:

$$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$$ $$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

Đây là mẫu chính của các bài toán lượng giác tìm giá trị chính xác: tách một góc khó thành các góc quen thuộc, rồi áp dụng cẩn thận một công thức.

Những lỗi thường gặp với công thức lượng giác

1. Nhầm lẫn giữa hằng đẳng thức và phương trình. Hằng đẳng thức đúng với mọi góc mà hai vế đều xác định. Còn một phương trình như $\sin \theta = \frac{1}{2}$ chỉ đúng với một số góc cụ thể.
2. Quên điều kiện xác định. $\tan \theta$, $\sec \theta$ và các công thức xây dựng từ chúng không xác định khi $\cos \theta = 0$.
3. Bỏ quên dấu trong công thức góc nửa. Dấu $\pm$ được quyết định bởi góc phần tư của $\theta/2$, không chỉ bởi dấu của riêng $\theta$.
4. Chép sai dấu trong các công thức góc. Các công thức của cos đặc biệt dễ bị đổi dấu nhầm.
5. Dùng định nghĩa tam giác vuông ngoài đúng bối cảnh của nó mà không chuyển sang cách hiểu theo đường tròn đơn vị. Với các góc lớn hơn góc nhọn trong tam giác, đường tròn đơn vị là cách hiểu an toàn hơn.

Khi nào các công thức lượng giác được dùng

Các công thức này được dùng để rút gọn biểu thức lượng giác, giải phương trình lượng giác, tìm giá trị chính xác và hỗ trợ các nội dung giải tích như đạo hàm, tích phân và phép đổi biến. Chúng cũng xuất hiện trong vật lý và kỹ thuật bất cứ khi nào bài toán liên quan đến chuyển động quay, sóng, dao động hoặc chuyển động tuần hoàn.

Trong thực tế, quy trình thường là: nhận ra dạng bài, kiểm tra điều kiện, chọn hằng đẳng thức phù hợp, rồi rút gọn đủ chậm để giữ đúng các dấu.

Thử một bài tương tự

Hãy thử tìm $\cos 15^\circ$ bằng cách viết $15^\circ$ thành $45^\circ - 30^\circ$. Nếu kết quả của bạn là một giá trị chính xác và dương, thì bạn đã dùng bảng công thức đúng cách.