Hoja de fórmulas trigonométricas

Esta hoja de fórmulas trigonométricas reúne las identidades que más usan los estudiantes: las definiciones básicas, las identidades recíprocas y pitagóricas, y las fórmulas para sumar, restar, duplicar o dividir ángulos entre dos.

La forma útil de pensar las fórmulas trigonométricas es que están conectadas, no que son aleatorias. Las definiciones del triángulo rectángulo explican las razones, y el círculo unitario explica por qué las mismas relaciones siguen apareciendo para cualquier ángulo.

Fórmulas trigonométricas básicas que realmente se usan

Para un ángulo $\theta$ de un triángulo rectángulo:

$$\sin \theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$$

Si $\cos \theta \ne 0$, la tangente es el cociente entre seno y coseno:

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

Las funciones recíprocas son:

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Estas definiciones básicas funcionan directamente en triángulos rectángulos. En problemas de trigonometría más generales, normalmente se interpretan las mismas relaciones en el círculo unitario.

Identidades pitagóricas

Estas son las identidades que aparecen constantemente al simplificar expresiones:

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \quad \text{cuando } \cos \theta \ne 0$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta \quad \text{cuando } \sin \theta \ne 0$$

La primera identidad es la principal. Las otras dos salen de dividir entre $\cos^2 \theta$ o $\sin^2 \theta$, así que la condición del denominador sí importa.

Fórmulas de suma y diferencia de ángulos

Úsalas cuando reescribes un ángulo como la suma o la resta de dos ángulos más sencillos:

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

Para la tangente, el denominador no debe ser $0$, y cada valor de tangente que se use debe estar definido.

Fórmulas de ángulo doble y ángulo mitad

Las fórmulas de ángulo doble son útiles cuando el mismo ángulo aparece dos veces:

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$

Las formas equivalentes del coseno son:

$$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

Las fórmulas de ángulo mitad son:

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$ $$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$$

En las fórmulas de ángulo mitad con raíz cuadrada, el signo depende del cuadrante de $\theta/2$.

Ejemplo resuelto: hallar $\sin 75^\circ$

Escribe $75^\circ$ como $45^\circ + 30^\circ$ y usa la fórmula de suma de ángulos:

$$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ)$$ $$= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$$

Ahora sustituye los valores conocidos de los ángulos notables:

$$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$$ $$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

Este es el patrón principal en los problemas trigonométricos de valor exacto: descomponer un ángulo más difícil en ángulos conocidos y luego aplicar una fórmula con cuidado.

Errores comunes con las fórmulas trigonométricas

1. Confundir identidades con ecuaciones. Una identidad es verdadera para todo ángulo donde ambos lados estén definidos. Una ecuación como $\sin \theta = \frac{1}{2}$ solo es verdadera para ángulos específicos.
2. Olvidar las condiciones del dominio. $\tan \theta$, $\sec \theta$ y las fórmulas construidas a partir de ellas no están definidas cuando $\cos \theta = 0$.
3. Omitir el signo en las fórmulas de ángulo mitad. El $\pm$ se determina por el cuadrante de $\theta/2$, no solo por el signo de $\theta$.
4. Copiar el signo incorrecto en las fórmulas de ángulos. Las fórmulas del coseno son especialmente fáciles de intercambiar por error.
5. Usar las definiciones del triángulo rectángulo fuera de su contexto sin pasar a la interpretación del círculo unitario. Para ángulos más allá de los agudos de un triángulo, el círculo unitario es la interpretación más segura.

Cuándo se usan las fórmulas trigonométricas

Estas fórmulas se usan para simplificar expresiones trigonométricas, resolver ecuaciones trigonométricas, hallar valores exactos y apoyar el trabajo de cálculo, como derivadas, integrales y sustituciones. También aparecen en física e ingeniería siempre que un problema involucra rotación, ondas, oscilación o movimiento periódico.

En la práctica, el proceso suele ser: identificar el patrón, comprobar la condición, elegir la identidad correspondiente y luego simplificar lo bastante despacio como para mantener correctos los signos.

Prueba un problema parecido

Intenta hallar $\cos 15^\circ$ escribiendo $15^\circ$ como $45^\circ - 30^\circ$. Si tu resultado es exacto y positivo, usaste bien la hoja.