Spickzettel zu trigonometrischen Formeln

Dieser Spickzettel zu trigonometrischen Formeln enthält die Identitäten, die Schülerinnen und Schüler am häufigsten verwenden: die Grunddefinitionen, Kehrwert- und pythagoreische Identitäten sowie die Formeln zum Addieren, Subtrahieren, Verdoppeln und Halbieren von Winkeln.

Am hilfreichsten ist es, trigonometrische Formeln als zusammenhängend zu verstehen, nicht als zufällige Sammlung. Die Definitionen im rechtwinkligen Dreieck erklären die Verhältnisse, und der Einheitskreis zeigt, warum dieselben Beziehungen bei jedem Winkel immer wieder auftreten.

Wichtige trigonometrische Formeln, die man wirklich benutzt

Für einen Winkel $\theta$ in einem rechtwinkligen Dreieck gilt:

$$\sin \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$

Falls $\cos \theta \ne 0$ ist, ist der Tangens der Quotient aus Sinus und Kosinus:

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

Die Kehrwertfunktionen sind:

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Diese Grunddefinitionen gelten direkt im rechtwinkligen Dreieck. Bei allgemeineren trigonometrischen Aufgaben werden dieselben Beziehungen stattdessen meist auf dem Einheitskreis interpretiert.

Pythagoreische Identitäten

Diese Identitäten tauchen ständig auf, wenn man Ausdrücke vereinfacht:

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \quad \text{when } \cos \theta \ne 0$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta \quad \text{when } \sin \theta \ne 0$$

Die erste Identität ist die wichtigste. Die beiden anderen entstehen durch Division durch $\cos^2 \theta$ bzw. $\sin^2 \theta$, daher ist die Bedingung an den Nenner wichtig.

Formeln für Winkelsumme und Winkeldifferenz

Verwende diese Formeln, wenn du einen Winkel als Summe oder Differenz zweier einfacherer Winkel schreibst:

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

Beim Tangens darf der Nenner nicht $0$ sein, und jeder verwendete Tangenswert muss definiert sein.

Doppelwinkel- und Halbwinkelformeln

Doppelwinkelformeln sind nützlich, wenn derselbe Winkel zweimal vorkommt:

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$

Äquivalente Formen für den Kosinus sind:

$$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

Die Halbwinkelformeln sind:

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$ $$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$$

Bei den Halbwinkelformeln mit Wurzel hängt das Vorzeichen vom Quadranten von $\theta/2$ ab.

Durchgerechnetes Beispiel: Bestimme $\sin 75^\circ$

Schreibe $75^\circ$ als $45^\circ + 30^\circ$ und verwende die Formel für die Winkelsumme:

$$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ)$$ $$= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$$

Setze nun die bekannten Werte der speziellen Winkel ein:

$$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$$ $$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

Das ist das Grundmuster bei trigonometrischen Aufgaben mit exakten Werten: Zerlege einen schwierigeren Winkel in bekannte Winkel und wende dann eine Formel sorgfältig an.

Häufige Fehler bei trigonometrischen Formeln

1. Identitäten und Gleichungen zu verwechseln. Eine Identität gilt für jeden Winkel, für den beide Seiten definiert sind. Eine Gleichung wie $\sin \theta = \frac{1}{2}$ gilt nur für bestimmte Winkel.
2. Definitionsbedingungen zu vergessen. $\tan \theta$, $\sec \theta$ und Formeln, die darauf aufbauen, sind nicht definiert, wenn $\cos \theta = 0$.
3. Das Vorzeichen in Halbwinkelformeln wegzulassen. Das $\pm$ wird durch den Quadranten von $\theta/2$ bestimmt, nicht allein durch das Vorzeichen von $\theta$.
4. In den Winkelformeln das falsche Vorzeichen zu übernehmen. Besonders bei den Kosinusformeln passiert dieser Fehler leicht.
5. Die Definitionen aus dem rechtwinkligen Dreieck außerhalb ihres Gültigkeitsbereichs zu verwenden, ohne zur Einheitskreis-Sicht zu wechseln. Für Winkel, die über spitze Dreieckswinkel hinausgehen, ist der Einheitskreis die sicherere Deutung.

Wann trigonometrische Formeln verwendet werden

Diese Formeln werden verwendet, um trigonometrische Ausdrücke zu vereinfachen, trigonometrische Gleichungen zu lösen, exakte Werte zu bestimmen und die Analysis zu unterstützen, etwa bei Ableitungen, Integralen und Substitutionen. Sie tauchen auch in Physik und Ingenieurwissenschaften auf, wenn es um Rotation, Wellen, Schwingungen oder periodische Bewegung geht.

In der Praxis ist der Ablauf meist so: Muster erkennen, Bedingung prüfen, die passende Identität wählen und dann langsam genug vereinfachen, damit die Vorzeichen korrekt bleiben.

Versuche eine ähnliche Aufgabe

Versuche, $\cos 15^\circ$ zu bestimmen, indem du $15^\circ$ als $45^\circ - 30^\circ$ schreibst. Wenn dein Ergebnis exakt und positiv ist, hast du den Spickzettel richtig verwendet.