Ringkasan Rumus Trigonometri

Ringkasan rumus trigonometri ini memuat identitas yang paling sering digunakan siswa: definisi dasar, identitas resiprokal dan Pythagoras, serta rumus untuk penjumlahan, pengurangan, sudut ganda, dan sudut setengah.

Cara yang berguna untuk memahami rumus trigonometri adalah melihat bahwa semuanya saling terhubung, bukan acak. Definisi segitiga siku-siku menjelaskan perbandingan, dan lingkaran satuan menjelaskan mengapa hubungan yang sama terus muncul untuk sudut berapa pun.

Rumus Inti Trigonometri yang Benar-Benar Dipakai

Untuk sudut segitiga siku-siku $\theta$:

$$\sin \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$$

Jika $\cos \theta \ne 0$, tangen adalah hasil bagi sinus dan cosinus:

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

Fungsi resiprokalnya adalah:

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Definisi dasar ini berlaku langsung pada segitiga siku-siku. Untuk soal trigonometri yang lebih luas, hubungan yang sama biasanya ditafsirkan melalui lingkaran satuan.

Identitas Pythagoras

Inilah identitas yang terus muncul saat kamu menyederhanakan bentuk:

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \quad \text{when } \cos \theta \ne 0$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta \quad \text{when } \sin \theta \ne 0$$

Identitas pertama adalah yang utama. Dua identitas lainnya berasal dari pembagian dengan $\cos^2 \theta$ atau $\sin^2 \theta$, jadi syarat pada penyebut itu penting.

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

Gunakan rumus ini saat kamu menulis ulang sebuah sudut sebagai dua sudut yang lebih mudah lalu dijumlahkan atau dikurangkan:

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

Untuk tangen, penyebut tidak boleh bernilai $0$, dan setiap nilai tangen yang digunakan harus terdefinisi.

Rumus Sudut Ganda dan Sudut Setengah

Rumus sudut ganda berguna saat sudut yang sama muncul dua kali:

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$

Bentuk cosinus yang ekuivalen adalah:

$$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

Rumus sudut setengah adalah:

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$ $$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$$

Untuk rumus sudut setengah yang berbentuk akar, tandanya bergantung pada kuadran dari $\theta/2$.

Contoh Soal: Cari $\sin 75^\circ$

Tulis $75^\circ$ sebagai $45^\circ + 30^\circ$ lalu gunakan rumus jumlah sudut:

$$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ)$$ $$= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$$

Sekarang substitusikan nilai sudut istimewa yang sudah diketahui:

$$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$$ $$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

Inilah pola utama dalam soal trigonometri nilai eksak: pecah sudut yang lebih sulit menjadi sudut-sudut yang sudah dikenal, lalu terapkan satu rumus dengan cermat.

Kesalahan Umum dalam Rumus Trigonometri

1. Mencampuradukkan identitas dan persamaan. Identitas benar untuk setiap sudut saat kedua ruas terdefinisi. Persamaan seperti $\sin \theta = \frac{1}{2}$ hanya benar untuk sudut-sudut tertentu.
2. Lupa syarat domain. $\tan \theta$, $\sec \theta$, dan rumus yang dibangun dari keduanya tidak terdefinisi saat $\cos \theta = 0$.
3. Menghilangkan tanda pada rumus sudut setengah. Tanda $\pm$ ditentukan oleh kuadran $\theta/2$, bukan hanya oleh tanda $\theta$.
4. Menyalin tanda yang salah pada rumus sudut. Rumus cosinus sangat mudah tertukar tandanya.
5. Menggunakan definisi segitiga siku-siku di luar konteksnya tanpa beralih ke sudut pandang lingkaran satuan. Untuk sudut di luar sudut lancip segitiga, lingkaran satuan adalah interpretasi yang lebih aman.

Kapan Rumus Trigonometri Digunakan

Rumus-rumus ini digunakan untuk menyederhanakan bentuk trigonometri, menyelesaikan persamaan trigonometri, mencari nilai eksak, dan mendukung materi kalkulus seperti turunan, integral, dan substitusi. Rumus ini juga muncul dalam fisika dan teknik setiap kali suatu masalah melibatkan rotasi, gelombang, osilasi, atau gerak periodik.

Dalam praktiknya, alurnya biasanya seperti ini: kenali polanya, periksa syaratnya, pilih identitas yang sesuai, lalu sederhanakan cukup pelan agar tandanya tetap benar.

Coba Soal Serupa

Coba cari $\cos 15^\circ$ dengan menulis $15^\circ$ sebagai $45^\circ - 30^\circ$. Jika hasilmu eksak dan positif, berarti kamu menggunakan ringkasan ini dengan benar.