삼각함수 공식

삼각함수 공식은 사인, 코사인, 탄젠트 사이의 관계를 정리한 식들입니다. 이 페이지에서는 문제풀이에서 가장 자주 쓰는 공식만 골라, 무엇을 뜻하는지와 언제 꺼내야 하는지를 빠르게 정리합니다.

핵심은 목록을 통째로 외우는 것이 아니라 연결을 보는 것입니다. 기본 비율에서 출발해 피타고라스 항등식, 덧셈정리, 배각공식과 반각공식으로 이어 보면 공식이 훨씬 덜 흩어져 보입니다.

삼각함수 공식의 출발점: 기본 비율

직각삼각형에서 각 $\\theta$에 대해

$$\\sin \\theta = \\frac{\\text{맞은편}}{\\text{빗변}}, \\quad \\cos \\theta = \\frac{\\text{이웃변}}{\\text{빗변}}, \\quad \\tan \\theta = \\frac{\\text{맞은편}}{\\text{이웃변}}$$

또, $\\cos \\theta \\ne 0$이면

$$\\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}$$

역수 관계는 다음과 같습니다.

$$\\csc \\theta = \\frac{1}{\\sin \\theta}, \\quad \\sec \\theta = \\frac{1}{\\cos \\theta}, \\quad \\cot \\theta = \\frac{1}{\\tan \\theta} = \\frac{\\cos \\theta}{\\sin \\theta}$$

이 공식들은 직각삼각형에서 출발하지만, 더 넓은 범위의 각에서는 단위원으로 같은 관계를 해석합니다.

가장 중요한 삼각함수 항등식

가장 중요한 식은

$$\\sin^2 \\theta + \\cos^2 \\theta = 1$$

입니다. 이 식 하나를 바탕으로 다른 공식도 정리할 수 있습니다.

$\\cos \\theta \\ne 0$일 때는

$$1 + \\tan^2 \\theta = \\sec^2 \\theta$$

$\\sin \\theta \\ne 0$일 때는

$$1 + \\cot^2 \\theta = \\csc^2 \\theta$$

시험에서 많이 나오는 패턴은 $\\sin^2 \\theta$를 $1 - \\cos^2 \\theta$로 바꾸거나, $1 + \\tan^2 \\theta$를 $\\sec^2 \\theta$로 바꾸는 식입니다. 분모 조건이 붙는 이유도 같이 기억해야 합니다.

덧셈정리와 뺄셈정리

익숙한 각 둘을 더하거나 빼서 새로운 값을 만들 때 씁니다.

$$\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin \\alpha \\cos \\beta + \\cos \\alpha \\sin \\beta$$ $$\\sin(\\alpha - \\beta) = \\sin \\alpha \\cos \\beta - \\cos \\alpha \\sin \\beta$$ $$\\cos(\\alpha + \\beta) = \\cos \\alpha \\cos \\beta - \\sin \\alpha \\sin \\beta$$ $$\\cos(\\alpha - \\beta) = \\cos \\alpha \\cos \\beta + \\sin \\alpha \\sin \\beta$$ $$\\tan(\\alpha + \\beta) = \\frac{\\tan \\alpha + \\tan \\beta}{1 - \\tan \\alpha \\tan \\beta}$$ $$\\tan(\\alpha - \\beta) = \\frac{\\tan \\alpha - \\tan \\beta}{1 + \\tan \\alpha \\tan \\beta}$$

$\\tan$ 공식은 분모가 $0$이면 쓸 수 없고, $\\tan \\alpha$와 $\\tan \\beta$도 각각 정의되어 있어야 합니다. 그래서 탄젠트 공식은 식만 외우기보다 조건을 먼저 보는 습관이 중요합니다.

배각공식과 반각공식에서 조건 보기

같은 각이 두 배로 바뀌면 배각공식을 씁니다.

$$\\sin(2\\theta) = 2 \\sin \\theta \\cos \\theta$$ $$\\cos(2\\theta) = \\cos^2 \\theta - \\sin^2 \\theta = 2\\cos^2 \\theta - 1 = 1 - 2\\sin^2 \\theta$$ $$\\tan(2\\theta) = \\frac{2\\tan \\theta}{1 - \\tan^2 \\theta}$$

반각공식은 다음과 같습니다.

$$\\sin\\left(\\frac{\\theta}{2}\\right) = \\pm \\sqrt{\\frac{1 - \\cos \\theta}{2}}$$ $$\\cos\\left(\\frac{\\theta}{2}\\right) = \\pm \\sqrt{\\frac{1 + \\cos \\theta}{2}}$$ $$\\tan\\left(\\frac{\\theta}{2}\\right) = \\frac{\\sin \\theta}{1 + \\cos \\theta} = \\frac{1 - \\cos \\theta}{\\sin \\theta}$$

여기서 가장 많이 놓치는 부분은 $\\pm$입니다. 부호는 $\\theta / 2$가 어느 사분면에 있는지에 따라 정합니다.

예제: \\sin 75^\\circ를 정확히 구하기

75^\\circ는 바로 떠오르는 특수각이 아니므로 45^\\circ + 30^\\circ로 나누는 것이 좋습니다.

\\sin 75^\\circ = \\sin(45^\\circ + 30^\\circ)

덧셈 공식을 적용하면

= \\sin 45^\\circ \\cos 30^\\circ + \\cos 45^\\circ \\sin 30^\\circ

특수각 값을 넣으면

$$= \\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right) + \\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)\\left(\\frac{1}{2}\\right)$$ $$= \\frac{\\sqrt{6}}{4} + \\frac{\\sqrt{2}}{4} = \\frac{\\sqrt{6} + \\sqrt{2}}{4}$$

이 예제의 핵심은 하나입니다. 바로 값이 안 보이는 각을 익숙한 각의 합이나 차로 바꾼 뒤, 덧셈정리를 정확히 적용하는 것입니다.

자주 틀리는 포인트

1. 항등식과 방정식을 같은 것으로 보는 실수입니다. 항등식은 정의되는 모든 각에서 성립하지만, 방정식은 특정 각에서만 성립합니다.
2. 분모 조건을 빼먹는 실수입니다. $\\tan \\theta$, $\\sec \\theta$가 들어가면 $\\cos \\theta = 0$인 경우를 먼저 확인해야 합니다.
3. 반각공식의 부호를 자동으로 $+$라고 두는 실수입니다. 제곱근이 나오면 각의 범위 조건이 필요합니다.
4. $\\cos(\\alpha + \\beta)$와 $\\cos(\\alpha - \\beta)$의 부호를 뒤집는 실수입니다. 코사인 덧셈과 뺄셈 공식은 특히 자주 헷갈립니다.
5. $\\sin^2 \\theta$를 $\\sin(\\theta^2)$로 잘못 읽는 실수입니다. $\\sin^2 \\theta$는 $(\\sin \\theta)^2$입니다.

삼각함수 공식을 언제 쓰나

삼각함수 공식은 단순 계산용 목록이 아닙니다. 삼각식 정리, 정확한 값 계산, 삼각방정식 풀이, 미분과 적분의 변형, 그리고 물리의 파동이나 진동 문제까지 이어집니다.

문제를 볼 때는 보통 이렇게 접근하면 됩니다. 식의 꼴을 보고, 필요한 조건을 확인하고, 맞는 공식을 하나 고른 뒤, 부호를 조심하면서 천천히 정리합니다. 이 순서만 지켜도 실수가 크게 줄어듭니다.

직접 해보기

\\cos 15^\\circ를 직접 구해 보세요. 15^\\circ = 45^\\circ - 30^\\circ로 두고 공식을 적용하면, 공식을 외운 것이 아니라 실제로 사용할 수 있는지 바로 확인할 수 있습니다.

비슷한 문제를 하나 더 풀어 보고 싶다면, 다음에는 단위원이나 삼각함수 항등식 문제로 넘어가서 같은 공식을 다른 상황에서 다시 써 보세요.