Formulario di formule trigonometriche

Questo formulario di formule trigonometriche raccoglie le identità che gli studenti usano più spesso: le definizioni di base, le identità reciproche e pitagoriche, e le formule per sommare, sottrarre, raddoppiare o dimezzare gli angoli.

Il modo più utile di pensare alle formule trigonometriche è che sono collegate tra loro, non casuali. Le definizioni nel triangolo rettangolo spiegano i rapporti, e la circonferenza goniometrica spiega perché le stesse relazioni continuano a comparire per qualsiasi angolo.

Formule trigonometriche fondamentali che si usano davvero

Per un angolo $\theta$ in un triangolo rettangolo:

$$\sin \theta = \frac{\text{opposto}}{\text{ipotenusa}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{adiacente}}{\text{ipotenusa}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{opposto}}{\text{adiacente}}$$

Se $\cos \theta \ne 0$, la tangente è il quoziente tra seno e coseno:

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

Le funzioni reciproche sono:

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

Queste definizioni di base si applicano direttamente ai triangoli rettangoli. Nei problemi di trigonometria più generali, le stesse relazioni si interpretano di solito sulla circonferenza goniometrica.

Identità pitagoriche

Sono le identità che compaiono continuamente quando si semplificano espressioni:

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \quad \text{quando } \cos \theta \ne 0$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta \quad \text{quando } \sin \theta \ne 0$$

La prima identità è quella principale. Le altre due si ottengono dividendo per $\cos^2 \theta$ o $\sin^2 \theta$, quindi la condizione sul denominatore è importante.

Formule di addizione e sottrazione degli angoli

Usa queste formule quando riscrivi un angolo come somma o differenza di due angoli più semplici:

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$ $$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$ $$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

Per la tangente, il denominatore non deve essere $0$, e ogni valore di tangente usato deve essere definito.

Formule dell'angolo doppio e dell'angolo metà

Le formule dell'angolo doppio sono utili quando lo stesso angolo compare due volte:

$$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$$

Forme equivalenti per il coseno sono:

$$\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$$ $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

Le formule dell'angolo metà sono:

$$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$ $$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$$

Nelle formule dell'angolo metà con la radice quadrata, il segno dipende dal quadrante di $\theta/2$.

Esempio svolto: trova $\sin 75^\circ$

Scrivi $75^\circ$ come $45^\circ + 30^\circ$ e usa la formula di addizione:

$$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ)$$ $$= \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$$

Ora sostituisci i valori noti degli angoli notevoli:

$$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$$ $$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

Questo è lo schema principale nei problemi trigonometrici con valori esatti: scomporre un angolo più difficile in angoli familiari, poi applicare con attenzione una formula.

Errori comuni con le formule trigonometriche

1. Confondere identità ed equazioni. Un'identità è vera per ogni angolo per cui entrambi i membri sono definiti. Un'equazione come $\sin \theta = \frac{1}{2}$ è vera solo per angoli specifici.
2. Dimenticare le condizioni di esistenza. $\tan \theta$, $\sec \theta$ e le formule costruite a partire da esse non sono definite quando $\cos \theta = 0$.
3. Trascurare il segno nelle formule dell'angolo metà. Il $\pm$ si determina in base al quadrante di $\theta/2$, non solo dal segno di $\theta$.
4. Copiare il segno sbagliato nelle formule degli angoli. Le formule del coseno sono particolarmente facili da scambiare per errore.
5. Usare le definizioni del triangolo rettangolo fuori dal loro contesto senza passare alla visione della circonferenza goniometrica. Per angoli oltre quelli acuti di un triangolo, la circonferenza goniometrica è l'interpretazione più sicura.

Quando si usano le formule trigonometriche

Queste formule si usano per semplificare espressioni trigonometriche, risolvere equazioni goniometriche, trovare valori esatti e supportare il lavoro di analisi, come derivate, integrali e sostituzioni. Compaiono anche in fisica e ingegneria ogni volta che un problema coinvolge rotazioni, onde, oscillazioni o moti periodici.

In pratica, il procedimento di solito è questo: riconoscere lo schema, controllare la condizione, scegliere l'identità corrispondente e poi semplificare abbastanza lentamente da mantenere corretti i segni.

Prova un problema simile

Prova a trovare $\cos 15^\circ$ scrivendo $15^\circ$ come $45^\circ - 30^\circ$. Se il tuo risultato è esatto e positivo, hai usato correttamente il formulario.